Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
\mathbf{R}(t)=e^{t} \cos t \mathbf{i}+e^{t} \operatorname{sen} t \mathbf{j} ; de t=0 a t=1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica \mathbf{R}(t)=e^{t}\cos t\,\mathbf{i}+e^{t}\operatorname{sen} t\,\mathbf{j}
para 0\le t\le1. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para curvas paramétricas no plano:
L=\int_{0}^{1}\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada de cada componente de \mathbf{R}(t). Para a componente x(t)=e^{t}\cos t vale
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr)=e^{t}\cos t - e^{t}\sin t = e^{t}\bigl(\cos t - \sin t\bigr).
Para a componente y(t)=e^{t}\operatorname{sen} t vale
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\operatorname{sen} t\bigr)=e^{t}\operatorname{sen} t + e^{t}\cos t = e^{t}\bigl(\operatorname{sen} t + \cos t\bigr).

Passo 3

O módulo da velocidade é
\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert = \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2} + \bigl(y'(t)\bigr)^{2}} = \sqrt{e^{2t}(\cos t - \sin t)^{2} + e^{2t}(\operatorname{sen} t + \cos t)^{2}}.
Fatorando e^{2t} e expandindo os quadrados:
(\cos t - \sin t)^{2} + (\operatorname{sen} t + \cos t)^{2} = \cos^{2}t - 2\cos t\operatorname{sen} t + \operatorname{sen}^{2}t + \operatorname{sen}^{2}t + 2\cos t\operatorname{sen} t + \cos^{2}t =2(\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t)=2.
Logo
\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert = \sqrt{e^{2t}\cdot2} = \sqrt{2}\,e^{t}.

Passo 4

Substituindo em L:
L = \int_{0}^{1}\sqrt{2}\,e^{t}\,dt = \sqrt{2}\int_{0}^{1}e^{t}\,dt = \sqrt{2}\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} = \sqrt{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \sqrt{2}\,(e-1).

Resposta

\displaystyle L = \sqrt{2}\,(e-1)

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