Ache o conjunto de coordenadas cilíndricas para o ponto cujo coordenadas esféricas são \left(3, \pi, \frac{\pi}{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá um ponto em coordenadas esféricas \bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr)=(3,\pi,\tfrac{\pi}{3}) e pede suas coordenadas cilíndricas (r,\theta,z). As fórmulas de conversão são
r = \rho\,\sin\varphi,
\theta_{\text{cil}} = \theta_{\text{esf}},
z = \rho\,\cos\varphi.

Passo 2

Calculamos r usando \sin(\pi/3)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
r = 3 \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Calculamos z usando \cos(\pi/3)=\tfrac12:
z = 3 \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.

Passo 4

A coordenada angular \theta permanece igual a \pi.

Resposta

(r,\theta,z) = \Bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2},\,\pi,\,\tfrac{3}{2}\Bigr).

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