Ache as coordenadas esféricas para o ponto cujo coordenadas cartesianas são (-3, \sqrt{3}, 2).

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto de coordenadas cartesianas (-3,\sqrt{3},2) em coordenadas esféricas (\rho,\theta,\varphi).
Conteúdo: transformação de coordenadas tridimensionais, usando as fórmulas
\rho = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \quad \theta = \text{ângulo no plano }xy, \quad \varphi = \text{ângulo em relação ao eixo }z.ââçã

Passo 2

Calculamos o raio \rho como distância do ponto à origem:
\rho = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 3 + 4} = \sqrt{16} = 4.

Passo 3

Determinamos o ângulo azimutal \theta no plano xy. Primeiro achamos a tangente:
\tan(\theta) = \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}.
Como x<0 e y>0, o ponto está no segundo quadrante. O valor básico \arctan\bigl|{-1}/{\sqrt{3}}\bigr| é \pi/6, então
\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.

Passo 4

Calculamos o ângulo polar \varphi medido a partir do eixo z (formato padrão):
\cos(\varphi) = \frac{z}{\rho} = \frac{2}{4} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac12\bigr) = \frac{\pi}{3}.

Resposta

As coordenadas esféricas do ponto são
\bigl(\rho,\theta,\varphi\bigr) = \Bigl(4,\;\tfrac{5\pi}{6},\;\tfrac{\pi}{3}\Bigr).

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