Uma partícula move-se ao longo da curva com equações paramétricas x(t)=\ln \left(t^{2}+1\right), y(t)=t^{2}+1 e z(t)=\arctan (t). Ache o vetor velocidade, o vetor aceleração e a velocidade escalar em t=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \,x(t)=\ln(t^{2}+1),\;y(t)=t^{2}+1,\;z(t)=\arctan(t)
e pede o vetor velocidade \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t), o vetor aceleração \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t) e a velocidade escalar \|\mathbf{v}(t)\| em t=0. Vamos usar derivação componente a componente.

Passo 2

Escrevemos o vetor posição
\mathbf{r}(t) = \bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr) = \bigl(\ln(t^2+1),\,t^2+1,\,\arctan(t)\bigr)
e derivamos cada componente para obter \mathbf{v}(t).

Passo 3

Derivadas das componentes:
x'(t) = \frac{d}{dt}\ln(t^2+1) = \frac{2t}{t^2+1},
y'(t) = \frac{d}{dt}(t^2+1) = 2t,
z'(t) = \frac{d}{dt}\arctan(t) = \frac{1}{1+t^2}.
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\mathbf{v}(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr) = \left(\frac{2t}{t^2+1},\,2t,\,\frac{1}{1+t^2}\right).

Passo 4

Derivando novamente para a aceleração:
x''(t) = \frac{d}{dt}\!\Bigl(\frac{2t}{t^2+1}\Bigr) = \frac{2(1 - t^2)}{(t^2+1)^2},
y''(t) = \frac{d}{dt}(2t) = 2,
z''(t) = \frac{d}{dt}\!\Bigl(\frac{1}{1+t^2}\Bigr) = -\frac{2t}{(1+t^2)^2}.
Portanto
\mathbf{a}(t) = \bigl(x''(t),\,y''(t),\,z''(t)\bigr) = \left(\frac{2(1 - t^2)}{(t^2+1)^2},\,2,\,-\frac{2t}{(1+t^2)^2}\right).

Passo 5

Avaliação em t=0:
\mathbf{v}(0) = \bigl(0,\,0,\,1\bigr), \quad \mathbf{a}(0) = \bigl(2,\,2,\,0\bigr).
A velocidade escalar em t=0 é
\|\mathbf{v}(0)\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1.

Resposta

\mathbf{v}(0) = (0,0,1),\quad \mathbf{a}(0) = (2,2,0),\quad \|\mathbf{v}(0)\| = 1.

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