Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.
f) x+12-x <= x3+x

Passo 1

A questão pede para encontrar o conjunto solução da desigualdade racional tfracx+12-x <= tfracx3+x e representá-lo na reta real. O conteúdo principal envolve desigualdades de frações, então vamos precisar identificar o domínio, transformar tudo em uma única fração e usar análise de sinais.

Passo 2

Primeiro a gente vê o domínio: não podemos ter denominadores nulos, ou seja, 2-xneq0 e 3+xneq0. Daí temos xneq2 e xneq -3. Em seguida passamos todas as parcelas para o lado esquerdo e colocamos sobre um denominador comum:
Colocando sobre o mesmo denominador, obtemos
x+12-x-x3+x = (x+1)(3+x)-x(2-x)(2-x)(3+x)
Expandindo o numerador:
(x+1)(x+3)=x^2+4x+3,
$$
x(2-x)=2x-x^2, x(2-x)=2x-x^2,
x2+4x+3-(2x-x2)=2x^2+2x+3. x^2+4x+3-(2x-x^2)=2x^2+2x+3\frac{2x^2+2x+3}{(2-x)(3+x)}\le0.$$

Passo 3

Agora usamos análise de sinais:
– O numerador 2x^2+2x+3 é uma função quadrática com discriminante De e coeficiente positivo, então 2x^2+2x+3>0 para todo x.
– A fração ser <=0 só pode acontecer quando o denominador for negativo (já que o numerador nunca zera).
Estudamos então
$$
(2-x)(x+3)<0.$$
As raízes desse produto são (2-x)(x+3)<0 e x=-3. Fazendo a tabela de sinais, temos denomínio negativo em x=2 e em ( -infty,-3).

Resposta

O conjunto-solução é (-infty,-3)cup(2,infty).

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