Ache o conjunto solução da desigualdade dada e mostre-o na reta numérica real.
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Passo 1
A questão pede para encontrar o conjunto solução da desigualdade racional
e representá-lo na reta real. O conteúdo principal envolve desigualdades de frações, então vamos precisar identificar o domínio, transformar tudo em uma única fração e usar análise de sinais.
Passo 2
Primeiro a gente vê o domínio: não podemos ter denominadores nulos, ou seja,
e
. Daí temos
e
. Em seguida passamos todas as parcelas para o lado esquerdo e colocamos sobre um denominador comum:
Colocando sobre o mesmo denominador, obtemos
Colocando sobre o mesmo denominador, obtemos
Expandindo o numerador:
$$
x(2-x)=2x-x^2,
x2+4x+3-(2x-x2)=2x^2+2x+3.
\frac{2x^2+2x+3}{(2-x)(3+x)}\le0.$$
Passo 3
Agora usamos análise de sinais:
– O numerador é uma função quadrática com discriminante
e coeficiente positivo, então
para todo
.
– A fração ser só pode acontecer quando o denominador for negativo (já que o numerador nunca zera).
Estudamos então
– O numerador
– A fração ser
Estudamos então
$$
(2-x)(x+3)<0.$$
As raízes desse produto são e
. Fazendo a tabela de sinais, temos denomínio negativo em
e em
.
As raízes desse produto são
Resposta
O conjunto-solução é
.