Use coordenadas cilíndricas para calcular integral triplaE f(x, y, z) d V, onde f e o sólido E são:
f(x, y, z)=1 e E é interior ao cilindro x^2-x+y^2=0 e à esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A função que vamos integrar é $ f(x, y, z) = 1 $, e a região $ E $ é o interior de um cilindro definido por $ x^{2} - x + y^{2} = 0 $ e dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender coordenadas cilíndricas, encontrar os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $, e identificar como o cilindro e a esfera se interceptam.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação do cilindro para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
Substituindo na equação do cilindro:
x^2 - x + y^2 = 0 implies (r cos theta)^2 - r cos theta + (r sin theta)^2 = 0
Simplificando:
r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) - r cos theta = 0 implies r^2 - r cos theta = 0
Fatorando:
r(r - cos theta) = 0
Então, temos duas soluções: $ r = 0 $ e $ r = \cos \theta $. Como $ r = 0 $ é apenas o eixo, a região interessante é $ r = \cos \theta $.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
x^2 + y^2 + z^2 = 1
Isso nos dá os limites de $ z $ para cada $ r $.

Passo 4

Precisamos determinar os limites para $ r $ e $ \theta $. A equação $ r = \cos \theta $ nos dá o raio máximo em função de $ \theta $. Para que $ r $ seja positivo, $ \cos \theta $ deve ser positivo, ou seja, $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $.
Então, os limites são:
r
theta
r = cos theta

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é $ r , dz , dr , d\theta $. Então, a integral fica:
r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em $ z $ primeiro:
z
Então, a integral fica:
integral-raiz1 - r^2^raiz1 - r^2 dz = 2 raiz1 - r^2

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em $ r $. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
r
Quando $ r = 0 $, $ u = 1 $;
quando $ r = \cos \theta $, $ u = 1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta $.
Substituindo na integral:
u = 1 - r^2 implies du = -2r , dr implies -du2 = r , dr
Integrando:
r = 0
Como $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $, $ \sin \theta $ é não negativo, então:
u = 1

Passo 8

Agora, a integral restante em $ \theta $ é:
theta
Sabemos que:
integral-pi2^pi2 23 (1 - sin^3 theta) , dtheta = 23 [ integral-pi2^pi2 1 , dtheta - integral-pi2^pi2 sin^3 theta , dtheta ]
E como $ \sin^{3} \theta $ é uma função ímpar:
integral-pi2^pi2 1 , dtheta = pi
Então, a integral fica:
sin^3 theta

Resposta

A integral tripla vale $ \frac{2}{3} \pi $.

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