Use coordenadas cilíndricas para calcular
, onde
e o sólido
são:
e
é interior ao cilindro
e à esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. A função que vamos integrar é $ f(x, y, z) = 1 $, e a região $ E $ é o interior de um cilindro definido por $ x^{2} - x + y^{2} = 0 $ e dentro da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar entender coordenadas cilíndricas, encontrar os limites de integração para $ r $, $ \theta $ e $ z $, e identificar como o cilindro e a esfera se interceptam.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação do cilindro para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Simplificando:
Fatorando:
Então, temos duas soluções: $ r = 0 $ e $ r = \cos \theta $. Como $ r = 0 $ é apenas o eixo, a região interessante é $ r = \cos \theta $.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Isso nos dá os limites de $ z $ para cada $ r $.
Passo 4
Precisamos determinar os limites para $ r $ e $ \theta $. A equação $ r = \cos \theta $ nos dá o raio máximo em função de $ \theta $. Para que $ r $ seja positivo, $ \cos \theta $ deve ser positivo, ou seja, $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $.
Então, os limites são:
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é $ r , dz , dr , d\theta $. Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral em $ z $ primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral em $ r $. Vamos fazer uma substituição para facilitar:
Quando $ r = 0 $, $ u = 1 $;
quando $ r = \cos \theta $, $ u = 1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta $.
quando $ r = \cos \theta $, $ u = 1 - \cos^{2} \theta = \sin^{2} \theta $.
Substituindo na integral:
Integrando:
Como $ -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $, $ \sin \theta $ é não negativo, então:
Passo 8
Agora, a integral restante em $ \theta $ é:
Sabemos que:
E como $ \sin^{3} \theta $ é uma função ímpar:
Então, a integral fica:
Resposta
A integral tripla vale $ \frac{2}{3} \pi $.