Ache as coordenadas x e y dos pontos de máximo e mínimo de f nos intervalos dados:
f(x)=x^3-3|x|+1, [-1,1]

Passo 1

O enunciado pede para achar as coordenadas (x,y) dos pontos de máximo e de mínimo de
f(x)=x^3-3|x|+1
no intervalo [-1,1]. Como há valor absoluto, vamos dividir em dois ramos, encontrar as derivadas em cada um, identificar candidatos a extremo interno e ainda checar as bordas.

Passo 2

Para dividir em ramos, note que
|x|= +x,&x>=0, -x,&x<0
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f(x)= x^3-3x+1,&x>=0, x^3+3x+1,&x<0
Calculamos as derivadas:
para x>0,
f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1);
para x<0,
f'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)

Passo 3

Procuramos pontos críticos em cada ramo interno:
  • Em x>0, a condição f'(x)=0 x^2-1=0, ou seja x=1 (só vale se x>=0).
  • Em x<0, f'(x)=3(x^2+1) nunca se anula, pois x^2+1>0 sempre.

Passo 4

Há um ponto especial em x=0, pois a derivada à esquerda e à direita não coincidem:
f'(0^-)=3(0^2+1)=3>0, f'(0^+)=3(0^2-1)=-3<0
Isso indica um ponto de máximo local em x=0.

Passo 5

Os candidatos a extremos no intervalo fechado [-1,1] são as bordas x=-1 e x=1, o ponto interior crítico x=1 (já incluído) e o canto do valor absoluto x=0. Vamos avaliar:
f(-1)=(-1)^3-3|-1|+1=-1-3+1= -3,
f(0)=0^3-3|0|+1=1,
f(1)=1^3-3|1|+1=1-3+1=-1

Passo 6

Comparando os valores:
  • Em x=-1 temos f(-1)=-3.
  • Em x=0 temos f(0)=1.
  • Em x=1 temos f(1)=-1.
O maior valor é 1 em x=0 (máximo global) e o menor valor é -3 em x=-1 (mínimo global).

Resposta

Ponto de máximo global: (0,1).
Ponto de mínimo global: (-1,-3).

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