Esboce os conjuntos de nível de f, para os seguintes valores de c
f(x, y)=e^x^2+y^2 c=-1,0,1

Passo 1

O enunciado pede os conjuntos de nível de
f(x,y)=e^x^2+y^2
para os valores c=-1, c=0 e c=1.
O conteúdo é “conjuntos de nível” de uma função de duas variáveis, isto é, resolver
e^x^2+y^2 = c
e discutir para quais c existem pontos (x,y).

Passo 2

Igualando f(x,y) ao valor de nível c, temos
e^x^2+y^2 = c
como a exponencial é sempre positiva, isso só faz sentido se c>0.
Tomando logaritmo natural, obtemos
x^2+y^2 = ln(c),
definindo círculos de raio raizln(c) sempre que ln(c)>=0.

Passo 3

Para c=-1 e para c=0 temos c<=0.
Como e^x^2+y^2>0 para todo (x,y), não existe (x,y) tal que
e^x^2+y^2 = -1 ou e^x^2+y^2 = 0
Logo, os conjuntos de nível são vazios.

Passo 4

Para c=1 temos ln(1)=0, então
x^2+y^2 = 0
implica x=0 e y=0.
Portanto o conjunto de nível para c=1 reduz-se ao ponto (0,0).

Resposta

Para c=-1: conjunto vazio.
Para c=0: conjunto vazio.
Para c=1: ponto (0,0).

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