Ache a curvatura da circunferincia de raio R en qualaver instante t.
\vec{R}(t)=R \cos t \hat{\imath}+R \operatorname{sen} t \hat{\jmath}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a curvatura em qualquer instante t da curva dada pela posição
\vec{R}(t)=R\cos t\,\hat{\imath}+R\sin t\,\hat{\jmath},
onde R é o raio da circunferência (constante) e t é o parâmetro (tempo).
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é a circunferência de raio R parametrizada por t.
  • Queremos a curvatura \kappa(t) para qualquer t.

Passo 2

O que é curvatura e que fórmula vamos usar. Intuitivamente, a curvatura mede o quanto a direção da tangente muda por unidade de comprimento ao longo da curva. Uma definição comum é
\kappa=\left\|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\|,
onde \mathbf{T} é o vetor tangente unitário e s é o comprimento de arco. Para cálculo prático quando a curva é dada por uma parametrização \mathbf{r}(t) não necessariamente por arco, usamos a fórmula equivalente
\kappa(t)=\dfrac{\|\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^{3}}.
Aqui:
  • \mathbf{r}(t) é o vetor posição (no problema \mathbf{r}(t)=\vec{R}(t));
  • \mathbf{r}'(t) é a derivada primeira (velocidade);
  • \mathbf{r}''(t) é a derivada segunda (aceleração);
  • \times é o produto vetorial; em 2D o módulo do produto vetorial é o valor absoluto do determinante formado pelas componentes: se \mathbf{r}=(x,y), \mathbf{r}'=(x',y'), \mathbf{r}''=(x'',y''), então
\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=|x'y''-y'x''|.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana. Vou usar essa fórmula porque ela dá a curvatura diretamente a partir das derivadas em relação a t sem precisar reparametrizar por comprimento de arco.

Passo 3

Calcular a primeira derivada \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\big(R\cos t\big)\,\hat{\imath}+\frac{d}{dt}\big(R\sin t\big)\,\hat{\jmath} =(-R\sin t)\,\hat{\imath}+(R\cos t)\,\hat{\jmath}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada \mathbf{r}''(t). Derivando novamente:
\mathbf{r}''(t)=\frac{d}{dt}\big(-R\sin t\big)\,\hat{\imath}+\frac{d}{dt}\big(R\cos t\big)\,\hat{\jmath} =(-R\cos t)\,\hat{\imath}+(-R\sin t)\,\hat{\jmath}.

Passo 5

Calcular o numerador da fórmula: o módulo do produto vetorial (determinante) x'y''-y'x''. Tomando x'=-R\sin t, y'=R\cos t, x''=-R\cos t, y''=-R\sin t,
x'y''-y'x'' = (-R\sin t)(-R\sin t) - (R\cos t)(-R\cos t).
Fazendo as multiplicações:
x'y''-y'x'' = R^{2}\sin^{2}t + R^{2}\cos^{2}t = R^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)=R^{2}.
Como R>0, o módulo é \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=R^{2}.

Passo 6

Calcular a norma de \mathbf{r}'(t) e elevar ao cubo para o denominador:
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(-R\sin t)^{2}+(R\cos t)^{2}}=\sqrt{R^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}=\sqrt{R^{2}}=R.
Logo
\|\mathbf{r}'(t)\|^{3}=R^{3}.

Passo 7

Aplicar a fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\dfrac{\|\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^{3}}=\dfrac{R^{2}}{R^{3}}=\dfrac{1}{R}.
Interpretação: a curvatura é constante e igual ao inverso do raio, como a intuição geométrica diz — quanto maior o raio, menos curva a circunferência; quanto menor o raio, maior a curvatura.

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{1}{R}

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