onde R é o raio da circunferência (constante) e t é o parâmetro (tempo).
Informações relevantes fornecidas:
A curva é a circunferência de raio R parametrizada por t.
Queremos a curvatura \kappa(t) para qualquer t.
Passo 2
O que é curvatura e que fórmula vamos usar. Intuitivamente, a curvatura mede o quanto a direção da tangente muda por unidade de comprimento ao longo da curva. Uma definição comum é
\kappa=\left\|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\|,
onde \mathbf{T} é o vetor tangente unitário e s é o comprimento de arco. Para cálculo prático quando a curva é dada por uma parametrização \mathbf{r}(t) não necessariamente por arco, usamos a fórmula equivalente
\mathbf{r}(t) é o vetor posição (no problema \mathbf{r}(t)=\vec{R}(t));
\mathbf{r}'(t) é a derivada primeira (velocidade);
\mathbf{r}''(t) é a derivada segunda (aceleração);
\times é o produto vetorial; em 2D o módulo do produto vetorial é o valor absoluto do determinante formado pelas componentes: se \mathbf{r}=(x,y), \mathbf{r}'=(x',y'), \mathbf{r}''=(x'',y''), então
\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=|x'y''-y'x''|.
\|\cdot\| é a norma euclidiana. Vou usar essa fórmula porque ela dá a curvatura diretamente a partir das derivadas em relação a t sem precisar reparametrizar por comprimento de arco.
Passo 3
Calcular a primeira derivada \mathbf{r}'(t). Derivando componente a componente:
Interpretação: a curvatura é constante e igual ao inverso do raio, como a intuição geométrica diz — quanto maior o raio, menos curva a circunferência; quanto menor o raio, maior a curvatura.