Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{-\infty}^{+\infty} x \operatorname{cosh} x d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} x\operatorname{cosh} x\,dx
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular o seu valor. As informações dadas são apenas a expressão do integrando x\operatorname{cosh} x e os limites de integração -\infty e +\infty. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é a função hiperbólica cosseno. A função \operatorname{cosh} x é definida por
\operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Duas propriedades importantes que vamos usar:
  • \operatorname{cosh} x é uma função par, isto é, \operatorname{cosh}(-x)=\operatorname{cosh} x.
  • A função x é ímpar, isto é, (-x)=-x.
Do produto de uma função ímpar por uma par obtemos uma função ímpar. Portanto o integrando x\operatorname{cosh} x é ímpar:
(x\operatorname{cosh} x)(-x) = -x\operatorname{cosh} x.
Observação didática: para funções ímpares a integral definida em [-A,A] é zero para qualquer A finito, porque as áreas positivas e negativas se cancelam simetricamente. Atenção: isso vale para integrais em intervalos finitos; para integrais impróprias até \pm\infty precisamos checar a convergência das duas caudas separadamente.

Passo 3

Definição rigorosa da integral imprópria: dizemos que
\int_{-\infty}^{+\infty} x\operatorname{cosh} x\,dx
converge (no sentido usual) se e somente se os dois limites improprios
\int_{0}^{\infty} x\operatorname{cosh} x\,dx \quad\text{e}\quad \int_{-\infty}^{0} x\operatorname{cosh} x\,dx
existirem (finito). Não basta que o limite simétrico ( \lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A}) exista (esse último é a chamada soma principal de Cauchy); precisamos que cada cauda esteja bem definida e finita.
Portanto a estratégia prática será calcular as integrais de 0 até A e de -A até 0 e analisar os limites quando A\to\infty.

Passo 4

Vamos obter uma primitiva de x\operatorname{cosh} x para poder avaliar as integrais próprias em termos de uma expressão fechada. Usamos integração por partes. Escolhemos
u=x,\qquad dv=\operatorname{cosh} x\,dx.
Então
du=dx,\qquad v=\operatorname{sinh} x,
porque \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x. A fórmula de integração por partes diz
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aplicando,
\int x\operatorname{cosh} x\,dx = x\operatorname{sinh} x - \int \operatorname{sinh} x\,dx.
Como \int \operatorname{sinh} x\,dx=\operatorname{cosh} x (até constante), obtemos a primitiva
\int x\operatorname{cosh} x\,dx = x\operatorname{sinh} x - \operatorname{cosh} x + C.
Expliquei: u é a parte que diferenciamos (gera du simples) e dv é a parte que integrámos (gera v); isso é útil quando uma das partes simplifica ao derivar.

Passo 5

Agora avaliamos a integral de 0 até A>0 usando a primitiva encontrada:
\int_{0}^{A} x\operatorname{cosh} x\,dx = \bigl[x\operatorname{sinh} x - \operatorname{cosh} x\bigr]_{0}^{A} = A\operatorname{sinh} A - \operatorname{cosh} A - \bigl(0\cdot\operatorname{sinh} 0 - \operatorname{cosh} 0\bigr).
Como \operatorname{sinh} 0=0 e \operatorname{cosh} 0=1, isso dá
\int_{0}^{A} x\operatorname{cosh} x\,dx = A\operatorname{sinh} A - \operatorname{cosh} A + 1.
Para estudar o comportamento quando A\to\infty, usamos os crescimentos exponenciais de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh}:
\operatorname{sinh} A=\frac{e^{A}-e^{-A}}{2}\sim\frac{e^{A}}{2},\qquad \operatorname{cosh} A=\frac{e^{A}+e^{-A}}{2}\sim\frac{e^{A}}{2}\quad\text{quando }A\to\infty.
Assim, para grandes A,
A\operatorname{sinh} A - \operatorname{cosh} A \sim A\cdot\frac{e^{A}}{2} - \frac{e^{A}}{2} = \frac{e^{A}}{2}(A-1),
que tende a +\infty quando A\to\infty. Logo
\lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A} x\operatorname{cosh} x\,dx = +\infty.
Concluímos que a integral da cauda positiva diverge para +\infty.

Passo 6

Agora analisamos a cauda negativa. Seja A>0. Pela primitiva, a integral de -A até 0 é
\int_{-A}^{0} x\operatorname{cosh} x\,dx = \bigl[x\operatorname{sinh} x - \operatorname{cosh} x\bigr]_{-A}^{0} = \bigl(0\cdot\operatorname{sinh} 0 - \operatorname{cosh} 0\bigr) - \bigl((-A)\operatorname{sinh}(-A) - \operatorname{cosh}(-A)\bigr).
Usando \operatorname{sinh}(-A)=-\operatorname{sinh} A e \operatorname{cosh}(-A)=\operatorname{cosh} A, isso simplifica para
\int_{-A}^{0} x\operatorname{cosh} x\,dx = -1 - \bigl((-A)(-\operatorname{sinh} A) - \operatorname{cosh} A\bigr) = -1 - \bigl(A\operatorname{sinh} A - \operatorname{cosh} A\bigr).
Logo
\int_{-A}^{0} x\operatorname{cosh} x\,dx = -A\operatorname{sinh} A + \operatorname{cosh} A - 1.
Para A\to\infty isso tende a -\infty, pois -A\operatorname{sinh} A + \operatorname{cosh} A \sim -\frac{e^{A}}{2}(A-1)\to -\infty. Portanto
\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{0} x\operatorname{cosh} x\,dx = -\infty.

Passo 7

Como as duas integrais improprias nas caudas não são finitas (uma tende a +\infty e a outra a -\infty), a integral imprópria no sentido usual
\int_{-\infty}^{+\infty} x\operatorname{cosh} x\,dx
não converge. Observação didática: embora a integral simétrica \lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{A} x\operatorname{cosh} x\,dx seja igual a 0 para todo A (porque o integrando é ímpar), isso define apenas a soma principal de Cauchy (principal value). A existência do valor principal não implica convergência da integral imprópria no sentido habitual, porque as duas caudas não têm limites finitos separadamente.

Passo 8

Resumo final: a integral imprópria diverge porque as integrais nas caudas não são finitas; portanto não existe um valor numérico finito para \int_{-\infty}^{+\infty} x\operatorname{cosh} x\,dx. Força aí — é um caso clássico em que o cancelamento simétrico engana se não checarmos as caudas separadamente.

Resposta

A integral é divergente.

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