Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{-\infty}^{+\infty} x \operatorname{cosh} x d x
\int_{-\infty}^{+\infty} x \operatorname{cosh} x d x
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular o seu valor. As informações dadas são apenas a expressão do integrando
e os limites de integração
e
. Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é a função hiperbólica cosseno. A função
é definida por
Duas propriedades importantes que vamos usar:
-
é uma função par, isto é, . - A função
é ímpar, isto é, .
Do produto de uma função ímpar por uma par obtemos uma função ímpar. Portanto o integrando
é ímpar:
Observação didática: para funções ímpares a integral definida em
é zero para qualquer
finito, porque as áreas positivas e negativas se cancelam simetricamente. Atenção: isso vale para integrais em intervalos finitos; para integrais impróprias até
precisamos checar a convergência das duas caudas separadamente.
Passo 3
Definição rigorosa da integral imprópria: dizemos que
converge (no sentido usual) se e somente se os dois limites improprios
existirem (finito). Não basta que o limite simétrico (
) exista (esse último é a chamada soma principal de Cauchy); precisamos que cada cauda esteja bem definida e finita.
Portanto a estratégia prática será calcular as integrais de
até
e de
até
e analisar os limites quando
.
Passo 4
Vamos obter uma primitiva de
para poder avaliar as integrais próprias em termos de uma expressão fechada. Usamos integração por partes. Escolhemos
Então
porque
. A fórmula de integração por partes diz
Aplicando,
Como
(até constante), obtemos a primitiva
Expliquei:
é a parte que diferenciamos (gera
simples) e
é a parte que integrámos (gera
); isso é útil quando uma das partes simplifica ao derivar.
Passo 5
Agora avaliamos a integral de
até
usando a primitiva encontrada:
Como
e
, isso dá
Para estudar o comportamento quando
, usamos os crescimentos exponenciais de
e
:
Assim, para grandes
,
que tende a
quando
. Logo
Concluímos que a integral da cauda positiva diverge para
.
Passo 6
Agora analisamos a cauda negativa. Seja
. Pela primitiva, a integral de
até
é
Usando
e
, isso simplifica para
Logo
Para
isso tende a
, pois
. Portanto
Passo 7
Como as duas integrais improprias nas caudas não são finitas (uma tende a
e a outra a
), a integral imprópria no sentido usual
não converge. Observação didática: embora a integral simétrica
seja igual a
para todo
(porque o integrando é ímpar), isso define apenas a soma principal de Cauchy (principal value). A existência do valor principal não implica convergência da integral imprópria no sentido habitual, porque as duas caudas não têm limites finitos separadamente.
Passo 8
Resumo final: a integral imprópria diverge porque as integrais nas caudas não são finitas; portanto não existe um valor numérico finito para
. Força aí — é um caso clássico em que o cancelamento simétrico engana se não checarmos as caudas separadamente.
Resposta
A integral é divergente.