Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{-\infty}^{0} x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedido: determinar se a integral imprópria \displaystyle \int_{-\infty}^{0} x^{2} e^{x}\,dx é convergente ou divergente; se for convergente, calcular o seu valor.
  • Informação importante: o intervalo de integração é impróprio porque o limite inferior é -\infty. Não há descontinuidade no integrando para valores finitos de x (a função x^{2}e^{x} é contínua para todo x\in\mathbb{R}).
  • Conclusão do que será feito: precisamos interpretar a integral como um limite do tipo \displaystyle \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} x^{2} e^{x}\,dx e verificar se esse limite existe finito; se existir, calcular seu valor.

Passo 2

Definição prática de convergência para esta integral imprópria:
  • A integral \displaystyle \int_{-\infty}^{0} x^{2} e^{x}\,dx é definida como
\lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} x^{2} e^{x}\,dx.
  • Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral é convergente; se o limite não existir ou for infinito, é divergente.
  • Assim, meu objetivo é calcular a primitiva de x^{2}e^{x}, avaliar a primitiva em 0 e em a, e então estudar o limite quando a\to -\infty.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de \displaystyle x^{2} e^{x} (ou seja, calcular \int x^{2} e^{x}\,dx) usando integração por partes, passo a passo:
  • Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
  • Aplicação primeira: escolha u=x^{2} e dv=e^{x}dx. Então du=2x\,dx e v=e^{x}.
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int e^{x}\cdot 2x\,dx.
  • Agora preciso calcular \int 2x e^{x}\,dx. Factor 2:
\int 2x e^{x}\,dx = 2\int x e^{x}\,dx.
  • Segunda aplicação de partes para \int x e^{x}\,dx: escolha u=x, dv=e^{x}dx. Então du=dx, v=e^{x}.
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.
  • Multiplicando por 2:
\int 2x e^{x}\,dx = 2x e^{x} - 2e^{x} + C.
  • Voltando à integral original:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \bigl(2x e^{x} - 2e^{x}\bigr) + C.
  • Agrupando termos em fator e^{x}:
\int x^{2} e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.
Portanto uma primitiva é \displaystyle F(x)=e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr).

Passo 4

Expressar a integral imprópria como limite e aplicar a primitiva:
  • Pela definição,
\int_{-\infty}^{0} x^{2} e^{x}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{0} x^{2} e^{x}\,dx.
  • Usando a primitiva F,
\int_{a}^{0} x^{2} e^{x}\,dx = F(0)-F(a).
  • Calcular F(0):
F(0)=e^{0}\bigl(0^{2}-2\cdot 0+2\bigr)=1\cdot 2=2.
  • Escrever a expressão do limite:
\int_{-\infty}^{0} x^{2} e^{x}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\bigl(2 - e^{a}(a^{2}-2a+2)\bigr).
Agora falta estudar o comportamento do termo e^{a}(a^{2}-2a+2) quando a\to -\infty.

Passo 5

Mostrar que \displaystyle \lim_{a\to -\infty} e^{a}(a^{2}-2a+2)=0:
  • Observe que a^{2}-2a+2 é um polinômio de grau 2, então para a\to -\infty ele cresce como a^{2} (em módulo).
  • Faça a mudança de variável t=-a. Quando a\to -\infty temos t\to +\infty. Então
e^{a}(a^{2}-2a+2)=e^{-t}\bigl(t^{2}+2t+2\bigr).
  • Para decidir o limite de e^{-t}t^{2} quando t\to\infty, é útil reescrever como uma razão:
e^{-t}t^{2}=\frac{t^{2}}{e^{t}}.
  • Aplicar a Regra de L’Hôpital (porque o numerador e denominador vão para +\infty):
    Derivando numerador e denominador uma vez,
\lim_{t\to\infty}\frac{t^{2}}{e^{t}}=\lim_{t\to\infty}\frac{2t}{e^{t}}.
Ainda dá indeterminação \infty/\infty; aplicar L’Hôpital de novo:
\lim_{t\to\infty}\frac{2t}{e^{t}}=\lim_{t\to\infty}\frac{2}{e^{t}}=0.
  • Logo \displaystyle \lim_{t\to\infty} e^{-t}t^{2}=0. Como t^{2}+2t+2 difere de t^{2} por termos de ordem menor, segue que
\lim_{t\to\infty} e^{-t}\bigl(t^{2}+2t+2\bigr)=0.
  • Voltando à variável a, obtemos
\lim_{a\to -\infty} e^{a}(a^{2}-2a+2)=0.

Passo 6

Conclusão final do cálculo:
  • Como \displaystyle \lim_{a\to -\infty} e^{a}(a^{2}-2a+2)=0, da expressão do Passo 4 temos
\int_{-\infty}^{0} x^{2} e^{x}\,dx = \lim_{a\to -\infty}\bigl(2 - e^{a}(a^{2}-2a+2)\bigr)=2-0=2.
  • Portanto a integral é convergente e tem valor 2.

Resposta

2

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