Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.
\int_{-\infty}^{0} x^{2} e^{x} d x
\int_{-\infty}^{0} x^{2} e^{x} d x
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pedido: determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente; se for convergente, calcular o seu valor. - Informação importante: o intervalo de integração é impróprio porque o limite inferior é
. Não há descontinuidade no integrando para valores finitos de (a função é contínua para todo ). - Conclusão do que será feito: precisamos interpretar a integral como um limite do tipo
e verificar se esse limite existe finito; se existir, calcular seu valor.
Passo 2
Definição prática de convergência para esta integral imprópria:
- A integral
é definida como
- Se esse limite existir e for finito, dizemos que a integral é convergente; se o limite não existir ou for infinito, é divergente.
- Assim, meu objetivo é calcular a primitiva de
, avaliar a primitiva em e em , e então estudar o limite quando .
Passo 3
Encontrar uma primitiva de
(ou seja, calcular
) usando integração por partes, passo a passo:
- Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções
e ,
- Aplicação primeira: escolha
e . Então e .
- Agora preciso calcular
. Factor :
- Segunda aplicação de partes para
: escolha , . Então , .
- Multiplicando por
:
- Voltando à integral original:
- Agrupando termos em fator
:
Portanto uma primitiva é
.
Passo 4
Expressar a integral imprópria como limite e aplicar a primitiva:
- Pela definição,
- Usando a primitiva
,
- Calcular
:
- Escrever a expressão do limite:
Agora falta estudar o comportamento do termo
quando
.
Passo 5
Mostrar que
:
- Observe que
é um polinômio de grau , então para ele cresce como (em módulo). - Faça a mudança de variável
. Quando temos . Então
- Para decidir o limite de
quando , é útil reescrever como uma razão:
- Aplicar a Regra de L’Hôpital (porque o numerador e denominador vão para
):
Derivando numerador e denominador uma vez,
Ainda dá indeterminação
; aplicar L’Hôpital de novo:
- Logo
. Como difere de por termos de ordem menor, segue que
- Voltando à variável
, obtemos
Passo 6
Conclusão final do cálculo:
- Como
, da expressão do Passo 4 temos
- Portanto a integral é convergente e tem valor
.
Resposta
2