Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
b) x=e^t, y=e^(-t), z=t, t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a curvatura de uma curva no ponto indicado. A curva está definida pelas equações paramétricas , , no ponto onde .
Matéria envolvida: Vamos usar cálculo vetorial, especificamente o conceito de curvatura de uma curva no espaço. Para isso, precisamos conhecer as derivadas da posição da curva em relação ao parâmetro , além de saber como calcular o produto vetorial e a norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a posição vetorial da curva com base nas equações dadas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que representa a velocidade vetorial:

Passo 4

Em seguida, calculamos a segunda derivada de , que representa a aceleração vetorial:

Passo 5

Para encontrar a curvatura , usamos a fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial e a norma do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos calcular a norma de :

Passo 8

Substituindo nas expressões que encontramos:

Passo 9

Calculamos agora a norma do produto vetorial:

Passo 10

Finalmente, aplicamos a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva no ponto indicado é .

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