Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
b) R(t) = 2 sen(4t) i + 2 cos(4t) j

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar os vetores velocidade e aceleração , além dos escalares aceleração tangencial e aceleração normal . Estamos lidando com movimento vetorial, então vamos precisar derivar a posição em relação ao tempo para achar essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a primeira derivada do vetor posição em relação ao tempo.
Dado:
Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração . A aceleração é a segunda derivada do vetor posição, ou a primeira derivada do vetor velocidade.
Derivando :

Passo 4

Vamos calcular a aceleração tangencial . Ela mede a variação da velocidade ao longo do percurso e é dada por:
Primeiro, calculamos o produto escalar :
Então,

Passo 5

Por fim, vamos calcular a aceleração normal . Ela está relacionada com a mudança de direção do movimento e pode ser encontrada pela fórmula:
Como :
Calculando a norma de :
Então,

Resposta

Os vetores e escalares são:

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