Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
b)
b)
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar os vetores velocidade
e aceleração
, além dos escalares aceleração tangencial
e aceleração normal
. Estamos lidando com movimento vetorial, então vamos precisar derivar a posição em relação ao tempo para achar essas grandezas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
. A velocidade é a primeira derivada do vetor posição
em relação ao tempo.
Dado:
Derivando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração
. A aceleração é a segunda derivada do vetor posição, ou a primeira derivada do vetor velocidade.
Derivando
:
Passo 4
Vamos calcular a aceleração tangencial
. Ela mede a variação da velocidade ao longo do percurso e é dada por:
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Então,
Passo 5
Por fim, vamos calcular a aceleração normal
. Ela está relacionada com a mudança de direção do movimento e pode ser encontrada pela fórmula:
Como
:
Calculando a norma de
:
Então,
Resposta
Os vetores e escalares são: