Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
b) R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar a curvatura e o raio de curvatura no ponto para a função vetorial . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial de curvas, especificamente as fórmulas para curvatura e raio de curvatura de uma curva parametrizada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade .
Derivando cada componente:
No ponto :

Passo 3

Em seguida, encontramos a segunda derivada , que nos dá o vetor aceleração.
Derivando :
No ponto :

Passo 4

Agora, usamos a fórmula da curvatura para uma curva parametrizada:
No nosso caso, como estamos no plano, o produto vetorial dos vetores e é escalar:
Então, o módulo é 4.

Passo 5

Calculamos o módulo de :
Elevando ao cubo:

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da curvatura:

Passo 7

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:

Resposta

A curvatura no ponto dado é e o raio de curvatura é .

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