Ache D11 f(x, y), D22 f(x, y) e mostre que D12 f(x,y) = D21 f(x,y).
c) f(x, y) = (x^2 + y^2) arctg(y/x)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem de uma função . Especificamente, queremos calcular , e mostrar que .
Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, principalmente as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia para derivadas parciais. Para encontrar as derivadas de segunda ordem, primeiro precisamos achar as derivadas de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem e .
A função é:
Para derivar em relação a , usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então:
Agora, derivamos em relação a :
Calculando cada parte:
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem e .
Primeiro, , que é a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:
Portanto:
Agora, , que é a derivada de em relação a :
Derivando termo a termo:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos mostrar que . Isso significa que a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Observando as duas expressões:
Podemos reescrever como:
Então:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
E verificamos que:

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