Se
, ache:
(a)
, o incremento de
em
;
(b)
quando
;
(c)
, a diferencial total de
em
;
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado define a função
e pede quatro coisas em torno do ponto
:
(a) o incremento em função de
,
(b) o valor numérico desse quando
,
,
,
(c) a diferencial total no ponto, e
(d) o valor de para
,
,
.
Para resolver vamos usar a definição de incremento de função de várias variáveis e, depois, o conceito de diferencial via derivadas parciais.
(a) o incremento
(b) o valor numérico desse
(c) a diferencial total
(d) o valor de
Para resolver vamos usar a definição de incremento de função de várias variáveis e, depois, o conceito de diferencial via derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro calculamos
Em seguida avaliaremos
O incremento fica
Passo 3
Desenvolvendo e agrupando os termos em potências de
obtemos
Passo 4
Para
,
,
substituímos na expressão acima:
Fazendo as contas:
Passo 5
Agora achamos a diferencial total. As derivadas parciais são
No ponto
isso dá
Logo a diferencial total é
Passo 6
Para
,
,
temos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)