Se G(x, y, z)=x^{2} y+2 x y z-z^{2}, ache:
(a) \Delta G(-3,0,2), o incremento de G em (-3,0,2);
(b) \Delta G(-3,0,2) quando \Delta x=0,01, \Delta y=0,03, \Delta z=0,01;
(c) d G(-3,0,2, \Delta x, \Delta y, \Delta z), a diferencial total de G em (-3,0,2);
(d) d G(-3,0,2,0,01,0,03,-0,01).

Passo 1

O enunciado define a função
G(x,y,z)=x^{2}y+2xyz-z^{2}
e pede quatro coisas em torno do ponto (-3,0,2):
(a) o incremento \Delta G em função de \Delta x,\Delta y,\Delta z,
(b) o valor numérico desse \Delta G quando \Delta x=0,01, \Delta y=0,03, \Delta z=0,01,
(c) a diferencial total dG no ponto, e
(d) o valor de dG para \Delta x=0,01, \Delta y=0,03, \Delta z=-0,01.
Para resolver vamos usar a definição de incremento de função de várias variáveis e, depois, o conceito de diferencial via derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro calculamos
G(-3,0,2)=(-3)^{2}\cdot 0 + 2\cdot(-3)\cdot 0\cdot 2 - 2^{2} = -4.
Em seguida avaliaremos
G(-3+\Delta x,\;0+\Delta y,\;2+\Delta z) \;=\;(-3+\Delta x)^{2}\,\Delta y \;+\;2(-3+\Delta x)\,\Delta y\,(2+\Delta z)\;-\;(2+\Delta z)^{2}.
O incremento fica
\Delta G = G(-3+\Delta x,\Delta y,2+\Delta z) - G(-3,0,2).

Passo 3

Desenvolvendo e agrupando os termos em potências de \Delta x,\Delta y,\Delta z obtemos
\boxed{ \Delta G = -3\,\Delta y \;-\;2\,\Delta x\,\Delta y \;+\;\Delta x^{2}\,\Delta y \;-\;6\,\Delta y\,\Delta z \;+\;2\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z \;-\;4\,\Delta z \;-\;\Delta z^{2}. }

Passo 4

Para \Delta x=0,01, \Delta y=0,03, \Delta z=0,01 substituímos na expressão acima:
\Delta G = -3(0,03)-2(0,01)(0,03)+(0,01)^{2}(0,03) -6(0,03)(0,01)+2(0,01)(0,03)(0,01) -4(0,01)-(0,01)^{2}.
Fazendo as contas:
\Delta G \approx -0,132491.

Passo 5

Agora achamos a diferencial total. As derivadas parciais são
G_{x}=2xy+2yz,\quad G_{y}=x^{2}+2xz,\quad G_{z}=2xy-2z.
No ponto (-3,0,2) isso dá
G_{x}(-3,0,2)=0,\quad G_{y}(-3,0,2)=-3,\quad G_{z}(-3,0,2)=-4.
Logo a diferencial total é
\boxed{ dG = G_{x}\,\Delta x + G_{y}\,\Delta y + G_{z}\,\Delta z = 0\cdot\Delta x \;-\;3\,\Delta y \;-\;4\,\Delta z. }

Passo 6

Para \Delta x=0,01, \Delta y=0,03, \Delta z=-0,01 temos
dG = -3(0,03) -4(-0,01) = -0,09 +0,04 = -0,05.

Resposta

(a) \displaystyle \Delta G=-3\,\Delta y -2\,\Delta x\,\Delta y +\Delta x^{2}\,\Delta y -6\,\Delta y\,\Delta z +2\,\Delta x\,\Delta y\,\Delta z -4\,\Delta z -\Delta z^{2}.
(b) \displaystyle \Delta G\approx -0,132491.
(c) \displaystyle dG = -3\,\Delta y -4\,\Delta z.
(d) \displaystyle dG=-0,05.

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