Nos Exercícios de 42 a 45, use as definições e teoremas dos Exercícios 36 e 37 para provar que
não existe.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não existe. O conteúdo é limite de função de três variáveis e vamos usar o teorema que diz que, se esse limite existisse, o valor da função ao longo de qualquer trajetória que leve ao ponto teria que ser o mesmo.
Passo 2
Considere a trajetória
.
Substituindo em vem
Substituindo em
Logo
.
Passo 3
Agora use a trajetória
.
Temos
Temos
logo
.
Passo 4
Pela definição de limite em várias variáveis, se o limite existisse ele seria único. Mas encontramos duas trajetórias que levam a valores diferentes
e
.
Resposta
O limite não existe.