Nos Exercícios de 42 a 45, use as definições e teoremas dos Exercícios 36 e 37 para provar que \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,0)} f(x, y, z) não existe.
f(x, y, z)=\frac{x^{3}+y z^{2}}{x^{4}+y^{2}+z^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{x^{3}+y\,z^{2}}{x^{4}+y^{2}+z^{4}}
não existe. O conteúdo é limite de função de três variáveis e vamos usar o teorema que diz que, se esse limite existisse, o valor da função ao longo de qualquer trajetória que leve ao ponto teria que ser o mesmo.

Passo 2

Considere a trajetória (x,y,z)=(0,t^{2},t).
Substituindo em f vem
f(0,t^{2},t) =\frac{0^{3}+(t^{2})\,t^{2}}{0^{4}+(t^{2})^{2}+t^{4}} =\frac{t^{4}}{t^{4}+t^{4}} =\frac{t^{4}}{2\,t^{4}} =\tfrac12.
Logo \displaystyle\lim_{t\to0}f(0,t^{2},t)=\tfrac12.

Passo 3

Agora use a trajetória (x,y,z)=(0,-t^{2},t).
Temos
f(0,-t^{2},t) =\frac{0^{3}+(-t^{2})\,t^{2}}{0^{4}+(-t^{2})^{2}+t^{4}} =\frac{-\,t^{4}}{t^{4}+t^{4}} =-\tfrac12,
logo \displaystyle\lim_{t\to0}f(0,-t^{2},t)=-\tfrac12.

Passo 4

Pela definição de limite em várias variáveis, se o limite existisse ele seria único. Mas encontramos duas trajetórias que levam a valores diferentes \tfrac12 e -\tfrac12.

Resposta

O limite não existe.

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