Nos Exercícios de 25 a 31, a função é descontínua na origem, pois f(0,0) não existe. Determine se a descontinuidade é removivel ou essencial. Se a descontinuidade for removível, redefina f(0,0), de tal forma que a nova função seja contínua em (0,0).
f(x, y)=\frac{2 y^{2}-3 x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{2y^{2}-3xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
que não está definida em (0,0). Queremos estudar o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) para saber se a descontinuidade é removível (isto é, se o limite existe e é finito) ou essencial (limite inexistente ou infinito). Vamos usar mudança para coordenadas polares para avaliar esse limite de forma geral.

Passo 2

Fazemos x=r\cos\theta e y=r\sin\theta. Então
x^{2}+y^{2}=r^{2},\quad 2y^{2}-3xy =2r^{2}\sin^{2}\theta-3r^{2}\cos\theta\,\sin\theta =r^{2}\bigl(2\sin^{2}\theta-3\cos\theta\,\sin\theta\bigr).
Também \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r (com r\ge0). Logo, para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y) =\frac{r^{2}\bigl(2\sin^{2}\theta-3\cos\theta\,\sin\theta\bigr)}{r} =r\bigl(2\sin^{2}\theta-3\cos\theta\,\sin\theta\bigr).

Passo 3

Como \theta é fixo ao aproximar r\to0, temos
\lim_{r\to0}f(r\cos\theta,r\sin\theta) =\lim_{r\to0}r\bigl(2\sin^{2}\theta-3\cos\theta\,\sin\theta\bigr) =0.
O resultado não depende de \theta, portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Como o limite existe e é finito, a descontinuidade em (0,0) é removível.

Resposta

A descontinuidade é removível e basta definir
f(0,0)=0
para que a função fique contínua em (0,0).

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