Considere a função f: U^{a b} \subseteq \mathbb{R}^{n} \longrightarrow \mathbb{R}, a \in U^{a b}, v \in \mathbb{R}^{n} e 0 \neq \alpha \in \mathbb{R}. Mostre que:
\frac{\partial f}{\partial(\alpha \cdot v)}(a)=\alpha \cdot \frac{\partial f}{\partial v}(a)
Observação: Aqui estamos mostrando que a derivada direcional \frac{\partial f}{\partial v} depende linearmente do vetor v.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a derivada direcional de uma função f\colon U\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} em um ponto a no sentido do vetor \alpha\,v vale \alpha vezes a derivada direcional no sentido de v. O conteúdo aqui é a definição de derivada direcional e uma simples mudança de variável num limite.

Passo 2

Lembremos a definição de derivada direcional: para v\in\mathbb{R}^n,
\frac{\partial f}{\partial v}(a) =\lim_{t\to0}\frac{f\bigl(a+t\,v\bigr)-f(a)}{t},
desde que esse limite exista.

Passo 3

Agora escrevemos a derivada direcional no sentido de \alpha\,v:
\frac{\partial f}{\partial(\alpha\,v)}(a) =\lim_{t\to0}\frac{f\bigl(a+t\,(\alpha\,v)\bigr)-f(a)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{f\bigl(a+(\alpha t)\,v\bigr)-f(a)}{t}.

Passo 4

Fazendo a mudança de variável \displaystyle s=\alpha\,t, quando t\to0 temos s\to0 e t=s/\alpha. Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial(\alpha\,v)}(a) =\lim_{s\to0}\frac{f\bigl(a+s\,v\bigr)-f(a)}{s/\alpha} =\alpha\;\lim_{s\to0}\frac{f\bigl(a+s\,v\bigr)-f(a)}{s} =\alpha\;\frac{\partial f}{\partial v}(a).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial(\alpha\,v)}(a) =\alpha\;\frac{\partial f}{\partial v}(a).

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