Encontre o limite
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações fornecidas:
- A função cujo limite queremos é
. - A variável tende para
, ou seja, . - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Primeira observação algébrica: fatoramos o numerador para facilitar a manipulação:
Assim podemos reescrever a expressão original como
Passo 3
Agora reorganizamos para usar um limite padrão. Dividindo e multiplicando por
de forma útil, obtemos:
Isto é apenas álgebra: separámos um fator
e o quociente
.
Passo 4
Apresento um limite padrão (muito usado em provas): é um fato conhecido que
Interpretando: para
muito pequeno,
comporta-se praticamente como
. A consequência imediata é que
porque é o recíproco de algo que tende a
.
Breve comentário didático (sem entrar em provas longas): essa igualdade
é um resultado básico de cálculo e pode ser visto por aproximação de pequeno ângulo (
), por desenvolvimentos em série de Taylor ou por um argumento geométrico (desigualdades envolvendo triângulos e setores do círculo). Na prática de prova, use este resultado como ferramenta padrão.
Passo 5
Usamos propriedades de limites: se
e
, então
, desde que
e
existam finitos. Aplicando isso à expressão do Passo 3:
Calculamos cada limite:
Portanto o produto vale
.
Passo 6
Como verificação alternativa (útil quando quiser outra via): podemos aplicar a regra de L’Hôpital — já que a forma original é do tipo
— diferenciando numerador e denominador:
derivada do numerador é
,
derivada do denominador é
.
Logo, pela regra de L’Hôpital,
derivada do numerador
derivada do denominador
Logo, pela regra de L’Hôpital,
confirmando o resultado anterior.