Encontre o limite
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x^{2}+x}{\operatorname{sen}(x)}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{x^{2}+x}{\operatorname{sen}(x)}\right).
Informações fornecidas:
  • A função cujo limite queremos é \dfrac{x^{2}+x}{\operatorname{sen}(x)}.
  • A variável tende para 0, ou seja, x\to 0.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Primeira observação algébrica: fatoramos o numerador para facilitar a manipulação:
x^{2}+x = x(x+1).
Assim podemos reescrever a expressão original como
\frac{x^{2}+x}{\operatorname{sen}(x)} = \frac{x(x+1)}{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 3

Agora reorganizamos para usar um limite padrão. Dividindo e multiplicando por x de forma útil, obtemos:
\frac{x(x+1)}{\operatorname{sen}(x)} = (x+1)\cdot\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}.
Isto é apenas álgebra: separámos um fator (x+1) e o quociente x/\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Apresento um limite padrão (muito usado em provas): é um fato conhecido que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Interpretando: para x muito pequeno, \operatorname{sen}(x) comporta-se praticamente como x. A consequência imediata é que
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}=1
porque é o recíproco de algo que tende a 1.
Breve comentário didático (sem entrar em provas longas): essa igualdade \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1 é um resultado básico de cálculo e pode ser visto por aproximação de pequeno ângulo ( \operatorname{sen}(x)\approx x), por desenvolvimentos em série de Taylor ou por um argumento geométrico (desigualdades envolvendo triângulos e setores do círculo). Na prática de prova, use este resultado como ferramenta padrão.

Passo 5

Usamos propriedades de limites: se \lim_{x\to 0}f(x)=L e \lim_{x\to 0}g(x)=M, então \lim_{x\to 0} f(x)g(x)=LM, desde que L e M existam finitos. Aplicando isso à expressão do Passo 3:
\lim_{x\to 0}(x+1)\cdot\frac{x}{\operatorname{sen}(x)} = \left(\lim_{x\to 0}(x+1)\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}\right).
Calculamos cada limite:
\lim_{x\to 0}(x+1)=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}=1.
Portanto o produto vale 1\cdot 1=1.

Passo 6

Como verificação alternativa (útil quando quiser outra via): podemos aplicar a regra de L’Hôpital — já que a forma original é do tipo \tfrac{0}{0} — diferenciando numerador e denominador:
derivada do numerador x^{2}+x é 2x+1,
derivada do denominador \operatorname{sen}(x) é \cos(x).
Logo, pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+x}{\operatorname{sen}(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{2x+1}{\cos(x)}=\frac{1}{1}=1,
confirmando o resultado anterior.

Resposta

1

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