Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:
\int \operatorname{sen} 5 x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}5x\,dx
Informações dadas: a função a ser integrada é \operatorname{sen}5x (seno de 5x) e queremos uma primitiva (antiderivada), ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}5x. O método exigido é o método de substituição.

Passo 2

O que é o método de substituição (explicação didática): quando temos uma função composta f(g(x)) multiplicada pela derivada de g(x), ou algo equivalente, podemos simplificar a integral definindo uma nova variável u=g(x). Formalmente, se fizermos
u=g(x),
então
du=g'(x)\,dx.
A integral em x pode ser transformada numa integral em u, que costuma ser mais simples. Aqui vamos escolher g(x) para “pegar” a parte interna do seno, que é 5x.

Passo 3

Escolha da substituição: tomamos
u=5x.
Agora calculamos du. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du=5\,dx.
Isolando dx temos
dx=\frac{du}{5}.
Explicando: du representa a variação infinitesimal de u quando x varia, e a equação du=5\,dx vem da derivada de 5x ser 5.

Passo 4

Fazer a substituição na integral: substituir 5x por u e dx por \dfrac{du}{5}. Assim
\int \operatorname{sen}5x\,dx = \int \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{5}.
Como \dfrac{1}{5} é constante, podemos fatorá-la:
\int \operatorname{sen}5x\,dx = \frac{1}{5}\int \operatorname{sen}u\,du.

Passo 5

Calcular \int \operatorname{sen}u\,du (aulas rápidas sobre primitiva do seno): sabemos que a derivada de \cos u é -\operatorname{sen}u, isto é,
\frac{d}{du}\big(\cos u\big) = -\operatorname{sen}u.
Isso significa que uma primitiva de \operatorname{sen}u é -\cos u, porque derivando -\cos u obtemos \operatorname{sen}u. Portanto
\int \operatorname{sen}u\,du = -\cos u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar à variável original x: substituímos u=5x de volta na expressão e multiplicamos pelo fator \dfrac{1}{5}:
\int \operatorname{sen}5x\,dx = \frac{1}{5}\big(-\cos u\big) + C = -\frac{1}{5}\cos u + C = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C.
Explicando: C é a constante de integração que aparece em qualquer primitiva.

Passo 7

Verificação rápida (checar fazendo a derivada): vamos derivar a resposta para confirmar:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{5}\cos(5x)\right) = -\frac{1}{5}\cdot\big(-\sin(5x)\big)\cdot 5 = \sin(5x),
onde usamos a regra da cadeia (derivada de \cos(5x) é -\sin(5x) vezes a derivada de 5x, que é 5). O resultado bate com o integrando, então a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{5}\cos(5x)+C

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