Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a ser integrada é
(seno de
) e queremos uma primitiva (antiderivada), ou seja, uma função
tal que
. O método exigido é o método de substituição.
Passo 2
O que é o método de substituição (explicação didática): quando temos uma função composta
multiplicada pela derivada de
, ou algo equivalente, podemos simplificar a integral definindo uma nova variável
. Formalmente, se fizermos
então
A integral em
pode ser transformada numa integral em
, que costuma ser mais simples. Aqui vamos escolher
para “pegar” a parte interna do seno, que é
.
Passo 3
Escolha da substituição: tomamos
Agora calculamos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
temos
Explicando:
representa a variação infinitesimal de
quando
varia, e a equação
vem da derivada de
ser
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral: substituir
por
e
por
. Assim
Como
é constante, podemos fatorá-la:
Passo 5
Calcular
(aulas rápidas sobre primitiva do seno): sabemos que a derivada de
é
, isto é,
Isso significa que uma primitiva de
é
, porque derivando
obtemos
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar à variável original
: substituímos
de volta na expressão e multiplicamos pelo fator
:
Explicando:
é a constante de integração que aparece em qualquer primitiva.
Passo 7
Verificação rápida (checar fazendo a derivada): vamos derivar a resposta para confirmar:
onde usamos a regra da cadeia (derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
). O resultado bate com o integrando, então a primitiva está correta.