Ache a derivada parcial indicada:
;

Passo 1

O enunciado define
u = tg^-1(x,y,z,w),
pede a derivada parcial partial u/partial w.
O conteúdo necessário é o uso da regra da cadeia para derivadas parciais e a fórmula
ddtl(tg^-1tr)=11+t^2

Passo 2

Introduzimos a variável auxiliar
t = x,y,z,w,
de modo que
u = tg^-1(t)

Passo 3

Aplicamos a derivada de tg^-1(t) em relação a t:
d ud t = 11+t^2

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de t em relação a w, tratando x, y e z como constantes:
partial tpartial w = partial (x,y,z,w)partial w = x,y,z

Passo 5

Pela regra da cadeia para derivadas parciais,
partial upartial w = d ud t,partial tpartial w = 11+t^2;(x,y,z)
Substituindo t = x,y,z,w, obtemos
partial upartial w = x,y,z1+(x,y,z,w)^2

Resposta

partial upartial w = x,y,z1+(x,y,z,w)^2

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