Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=\operatorname{sen}(x y) ; x=2 r e^{\prime} ; y=t^{2} e^{-z} ; \frac{\partial u}{\partial t} ; \frac{\partial u}{\partial z}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes relações:
  • u=\operatorname{sen}(x y).
  • x=2 r e^{\prime}.
  • y=t^{2} e^{-z}.
As perguntas pedem:
  • \dfrac{\partial u}{\partial t}.
  • \dfrac{\partial u}{\partial z}.
Aviso importante sobre ambiguidade: a expressão x=2 r e^{\prime} está um pouco ambígua (não está claro o que é e^{\prime} — se é uma constante, uma função de t ou de z, etc.). Como não posso pedir esclarecimento, vou assumir que e^{\prime} e r são parâmetros que não dependem de t nem de z. Assim, sob essa hipótese x é independente de t e de z. Se x dependesse de t ou de z, os termos com \partial x/\partial t ou \partial x/\partial z teriam que ser incluídos.

Passo 2

Vamos lembrar a regra da cadeia (forma que usaremos): se u=f(v) e v depende de uma variável w, então
\frac{\partial u}{\partial w}=f'(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial w}.
Aqui u=\operatorname{sen}(v) com v=xy. A derivada de \operatorname{sen}(v) em relação a v é \cos(v). Além disso, v=xy é produto de duas funções, então para derivar v usamos a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial w}(xy)=x\frac{\partial y}{\partial w}+y\frac{\partial x}{\partial w}.
Irei aplicar essas duas regras para w=t e para w=z. Lembrete prático dos símbolos:
  • x e y são funções (aqui x suposta independente de t,z, y depende de t e z).
  • \operatorname{sen} é a função seno; \cos é sua derivada.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial t} passo a passo.
  1. Aplicando a regra da cadeia com v=xy:
\frac{\partial u}{\partial t}=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(xy).
  1. Aplicando a regra do produto para \dfrac{\partial}{\partial t}(xy):
\frac{\partial}{\partial t}(xy)=x\frac{\partial y}{\partial t}+y\frac{\partial x}{\partial t}.
  1. Pela hipótese feita no Passo 1, x não depende de t, então \dfrac{\partial x}{\partial t}=0. Assim
\frac{\partial}{\partial t}(xy)=x\frac{\partial y}{\partial t}.
  1. Calcular \dfrac{\partial y}{\partial t} sabendo y=t^{2} e^{-z}. Aqui e^{-z} é tratado como constante em relação a t, logo
\frac{\partial y}{\partial t}=2t\,e^{-z}.
  1. Substituindo em \dfrac{\partial u}{\partial t}:
\frac{\partial u}{\partial t}=\cos(xy)\cdot x\cdot 2t\,e^{-z}.
  1. Se quiser podemos substituir x=2 r e^{\prime} (lembrando a hipótese de independência):
\frac{\partial u}{\partial t}= \cos\big( (2 r e^{\prime})\,(t^{2} e^{-z})\big)\cdot (2 r e^{\prime})\cdot 2t\,e^{-z}.
Multiplicando os fatores escalares dá-se uma forma mais compacta:
\frac{\partial u}{\partial t}=4 r e^{\prime}\, t\, e^{-z}\,\cos\big(2 r e^{\prime}\, t^{2} e^{-z}\big).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial z} passo a passo.
  1. Regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial z}=\cos(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial z}(xy).
  1. Regra do produto:
\frac{\partial}{\partial z}(xy)=x\frac{\partial y}{\partial z}+y\frac{\partial x}{\partial z}.
  1. Pela hipótese, x não depende de z, então \dfrac{\partial x}{\partial z}=0. Logo
\frac{\partial}{\partial z}(xy)=x\frac{\partial y}{\partial z}.
  1. Calcular \dfrac{\partial y}{\partial z} para y=t^{2} e^{-z}. Agora t^{2} é constante em relação a z, e \dfrac{d}{dz}e^{-z}=-e^{-z}. Portanto
\frac{\partial y}{\partial z}=t^{2}\cdot(-e^{-z})=-t^{2} e^{-z}.
  1. Substituindo em \dfrac{\partial u}{\partial z}:
\frac{\partial u}{\partial z}=\cos(xy)\cdot x\cdot(-t^{2} e^{-z})=-x\,t^{2} e^{-z}\,\cos(xy).
  1. Substituindo x=2 r e^{\prime} dá:
\frac{\partial u}{\partial z}=-2 r e^{\prime}\, t^{2} e^{-z}\,\cos\big(2 r e^{\prime}\, t^{2} e^{-z}\big).

Passo 5

Interpretação e cheque rápido (intuitivo):
  • Em palavras: \partial u/\partial t mede como u muda quando só t varia — a variação entra porque y muda com t; \partial u/\partial z mede como u muda quando só z varia — a variação entra porque y também depende de z via e^{-z}. As fórmulas acima mostram a estrutura típica: \cos(xy) (derivada do seno) vezes a derivada do produto xy.
  • Se x dependesse de t ou z, teríamos que adicionar os termos com \partial x/\partial t ou \partial x/\partial z conforme a regra do produto.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}= \cos(xy)\,x\cdot 2t\,e^{-z}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}= -\cos(xy)\,x\,t^{2} e^{-z}

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