Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes relações:
-
. -
. -
.
As perguntas pedem:
-
. -
.
Aviso importante sobre ambiguidade: a expressão
está um pouco ambígua (não está claro o que é
— se é uma constante, uma função de
ou de
, etc.). Como não posso pedir esclarecimento, vou assumir que
e
são parâmetros que não dependem de
nem de
. Assim, sob essa hipótese
é independente de
e de
. Se
dependesse de
ou de
, os termos com
ou
teriam que ser incluídos.
Passo 2
Vamos lembrar a regra da cadeia (forma que usaremos): se
e
depende de uma variável
, então
Aqui
com
. A derivada de
em relação a
é
. Além disso,
é produto de duas funções, então para derivar
usamos a regra do produto:
Irei aplicar essas duas regras para
e para
. Lembrete prático dos símbolos:
-
e são funções (aqui suposta independente de , depende de e ). -
é a função seno; é sua derivada.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo.
- Aplicando a regra da cadeia com
:
- Aplicando a regra do produto para
:
- Pela hipótese feita no Passo 1,
não depende de , então . Assim
- Calcular
sabendo . Aqui é tratado como constante em relação a , logo
- Substituindo em
:
- Se quiser podemos substituir
(lembrando a hipótese de independência):
Multiplicando os fatores escalares dá-se uma forma mais compacta:
Passo 4
Cálculo de
passo a passo.
- Regra da cadeia:
- Regra do produto:
- Pela hipótese,
não depende de , então . Logo
- Calcular
para . Agora é constante em relação a , e . Portanto
- Substituindo em
:
- Substituindo
dá:
Passo 5
Interpretação e cheque rápido (intuitivo):
- Em palavras:
mede como muda quando só varia — a variação entra porque muda com ; mede como muda quando só varia — a variação entra porque também depende de via . As fórmulas acima mostram a estrutura típica: (derivada do seno) vezes a derivada do produto . - Se
dependesse de ou , teríamos que adicionar os termos com ou conforme a regra do produto.