Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y antes da diferenciação.
V=\pi x^{2} y ; x=\cos z \operatorname{sen} t ; y=z^{2} e^{t} ; \frac{\partial V}{\partial z} ; \frac{\partial V}{\partial t}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • V=\pi x^{2}y.
  • x=\cos z\;\sin t.
  • y=z^{2}e^{t}.
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\partial V}{\partial z} por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x e y em V antes de derivar.
  • Calcular \dfrac{\partial V}{\partial t} pelos mesmos dois métodos.
Anotações úteis que vou usar (não são resolução ainda, só lembretes):
  • Derivada parcial: ao derivar em relação a z, manter t fixo; ao derivar em relação a t, manter z fixo.
  • Produtos e potências seguem as regras usuais: \dfrac{d}{du}(u^n)=n u^{n-1}u' e \dfrac{d}{du}(ab)=a'b+ab'.
  • Regra da cadeia para função composta V(x(z,t),y(z,t)): \frac{\partial V}{\partial z}=V_x\frac{\partial x}{\partial z}+V_y\frac{\partial y}{\partial z}, \qquad \frac{\partial V}{\partial t}=V_x\frac{\partial x}{\partial t}+V_y\frac{\partial y}{\partial t},onde V_x e V_y são as derivadas parciais de V em relação a x e y.

Passo 2

Vou aplicar a regra da cadeia (método (a)). Primeiro calculo as derivadas parciais de V em relação a x e y.
Temos V=\pi x^{2}y. Trato x e y como variáveis independentes para calcular V_x e V_y.
  • Para V_x: y é constante, então uso a derivada de x^2:
    V_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(\pi x^{2}y\big)=\pi\cdot 2x\cdot y = 2\pi x y.
    Explicação curta: derivada de x^2 é 2x, o \pi e y são constantes multiplicativas.
  • Para V_y: x é constante, então
    V_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(\pi x^{2}y\big)=\pi x^{2}.
    Explicação: derivada de y é 1, o resto é constante.

Passo 3

Ainda no método (a), preciso das derivadas parciais de x e y em relação a z e t.
Lembro que x=\cos z\;\sin t e y=z^{2}e^{t}.
Calculo termo a termo:
  • \dfrac{\partial x}{\partial z}: aqui \sin t é constante (pois derivamos em relação a z), e \dfrac{d}{dz}\cos z=-\sin z. Então
    \frac{\partial x}{\partial z} = -\sin z\;\sin t.
  • \dfrac{\partial x}{\partial t}: agora \cos z é constante (derivando em relação a t), e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t. Assim
    \frac{\partial x}{\partial t} = \cos z\;\cos t.
  • \dfrac{\partial y}{\partial z}: y=z^{2}e^{t}. Aqui e^{t} é constante (derivando em z), e \dfrac{d}{dz}z^{2}=2z. Logo
    \frac{\partial y}{\partial z} = 2z\,e^{t}.
  • \dfrac{\partial y}{\partial t}: aqui z^{2} é constante, e \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}. Então
    \frac{\partial y}{\partial t} = z^{2}e^{t}.

Passo 4

Agora monto as expressões da regra da cadeia e substituo os resultados obtidos.
Para \dfrac{\partial V}{\partial z}:
\frac{\partial V}{\partial z}=V_x\frac{\partial x}{\partial z}+V_y\frac{\partial y}{\partial z}.
Substituo V_x=2\pi x y, V_y=\pi x^{2}, x_z=-\sin z\sin t e y_z=2z e^{t}:
\frac{\partial V}{\partial z}=2\pi x y\big(-\sin z\sin t\big)+\pi x^{2}\big(2z e^{t}\big).
Isso já é uma forma válida (em termos de x e y). Agora substituo x=\cos z\sin t e y=z^{2}e^{t} para expressar tudo em z,t:
Primeiro termo:
2\pi x y(-\sin z\sin t) =2\pi(\cos z\sin t)(z^{2}e^{t})(-\sin z\sin t) =-2\pi z^{2}e^{t}\cos z\sin z\sin^{2}t.
Segundo termo:
\pi x^{2}(2z e^{t}) =2\pi z e^{t}(\cos^{2}z\sin^{2}t).
Somando:
\frac{\partial V}{\partial z} =-2\pi z^{2}e^{t}\cos z\sin z\sin^{2}t +2\pi z e^{t}\cos^{2}z\sin^{2}t.
Posso fatorar 2\pi z e^{t}\sin^{2}t para ficar mais compacto:
\frac{\partial V}{\partial z} =2\pi z e^{t}\sin^{2}t\Big(-z\cos z\sin z+\cos^{2}z\Big).

Passo 5

Agora o método (b): primeiro faço a substituição de x e y em V, obtendo uma função explícita de z e t, e então derivarei diretamente.
Substituindo:
V(z,t)=\pi\big(\cos z\sin t\big)^{2}\cdot\big(z^{2}e^{t}\big) =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\sin^{2}t.
Derivo em relação a z (tratando t constante). É útil notar que e^{t} e \sin^{2}t são constantes em relação a z. Assim
\frac{\partial V}{\partial z} =\pi e^{t}\sin^{2}t\cdot\frac{d}{dz}\big(z^{2}\cos^{2}z\big).
Calculo \dfrac{d}{dz}\big(z^{2}\cos^{2}z\big) com a regra do produto:
\frac{d}{dz}(z^{2}\cos^{2}z)=2z\cos^{2}z+z^{2}\cdot 2\cos z\cdot(-\sin z) =2z\cos^{2}z-2z^{2}\cos z\sin z.
Multiplicando:
\frac{\partial V}{\partial z} =\pi e^{t}\sin^{2}t\big(2z\cos^{2}z-2z^{2}\cos z\sin z\big),
que simplifica para
\frac{\partial V}{\partial z} =2\pi z e^{t}\sin^{2}t\big(\cos^{2}z - z\cos z\sin z\big),
exatamente a mesma expressão obtida pelo método (a) (somando os termos na ordem adequada). Isso confirma que os dois métodos dão o mesmo resultado.

Passo 6

Agora calculo \dfrac{\partial V}{\partial t} pelos dois métodos.
Primeiro pelo método (a) (regra da cadeia):
\frac{\partial V}{\partial t}=V_x\frac{\partial x}{\partial t}+V_y\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituo V_x=2\pi x y, V_y=\pi x^{2}, x_t=\cos z\cos t, y_t=z^{2}e^{t}:
\frac{\partial V}{\partial t} =2\pi x y(\cos z\cos t)+\pi x^{2}(z^{2}e^{t}).
Substituo x=\cos z\sin t e y=z^{2}e^{t}:
Primeiro termo:
2\pi x y(\cos z\cos t) =2\pi(\cos z\sin t)(z^{2}e^{t})(\cos z\cos t) =2\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\sin t\cos t.
Segundo termo:
\pi x^{2}(z^{2}e^{t}) =\pi(z^{2}e^{t})\cos^{2}z\sin^{2}t =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\sin^{2}t.
Somando:
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\big(2\sin t\cos t+\sin^{2}t\big).
Posso reconhecer 2\sin t\cos t=\sin 2t se quiser, mas vou deixar na forma de produtos de seno e cosseno:
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\big(\sin^{2}t+2\sin t\cos t\big).

Passo 7

Agora calculo \dfrac{\partial V}{\partial t} pelo método (b), derivando V(z,t)=\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\sin^{2}t diretamente em relação a t (com z fixo).
Posso tratar z^{2}\cos^{2}z como constante multiplicativa frente a t, então
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi z^{2}\cos^{2}z\cdot\frac{d}{dt}\big(e^{t}\sin^{2}t\big).
Calculo \dfrac{d}{dt}\big(e^{t}\sin^{2}t\big) usando a regra do produto:
\frac{d}{dt}\big(e^{t}\sin^{2}t\big)=e^{t}\sin^{2}t+e^{t}\cdot 2\sin t\cos t =e^{t}\big(\sin^{2}t+2\sin t\cos t\big).
Multiplicando:
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi z^{2}\cos^{2}z\;e^{t}\big(\sin^{2}t+2\sin t\cos t\big),
que é exatamente a expressão obtida pelo método (a). Portanto os dois métodos conferem.

Resposta

\frac{\partial V}{\partial z} =2\pi z e^{t}\sin^{2}t\Big(\cos^{2}z - z\cos z\sin z\Big)
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\big(\sin^{2}t+2\sin t\cos t\big)

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