Ache a derivada parcial indicada por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de
e
antes da diferenciação.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
. -
.
O que se pede:
- Calcular
por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de e em antes de derivar. - Calcular
pelos mesmos dois métodos.
Anotações úteis que vou usar (não são resolução ainda, só lembretes):
- Derivada parcial: ao derivar em relação a
, manter fixo; ao derivar em relação a , manter fixo. - Produtos e potências seguem as regras usuais:
e . - Regra da cadeia para função composta
: onde e são as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 2
Vou aplicar a regra da cadeia (método (a)). Primeiro calculo as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Temos
. Trato
e
como variáveis independentes para calcular
e
.
-
Para
: é constante, então uso a derivada de : Explicação curta: derivada deé , o e são constantes multiplicativas. -
Para
: é constante, então Explicação: derivada deé , o resto é constante.
Passo 3
Ainda no método (a), preciso das derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Lembro que
e
.
Calculo termo a termo:
-
: aqui é constante (pois derivamos em relação a ), e . Então -
: agora é constante (derivando em relação a ), e . Assim -
: . Aqui é constante (derivando em ), e . Logo -
: aqui é constante, e . Então
Passo 4
Agora monto as expressões da regra da cadeia e substituo os resultados obtidos.
Para
:
Substituo
,
,
e
:
Isso já é uma forma válida (em termos de
e
). Agora substituo
e
para expressar tudo em
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando:
Posso fatorar
para ficar mais compacto:
Passo 5
Agora o método (b): primeiro faço a substituição de
e
em
, obtendo uma função explícita de
e
, e então derivarei diretamente.
Substituindo:
Derivo em relação a
(tratando
constante). É útil notar que
e
são constantes em relação a
. Assim
Calculo
com a regra do produto:
Multiplicando:
que simplifica para
exatamente a mesma expressão obtida pelo método (a) (somando os termos na ordem adequada). Isso confirma que os dois métodos dão o mesmo resultado.
Passo 6
Agora calculo
pelos dois métodos.
Primeiro pelo método (a) (regra da cadeia):
Substituo
,
,
,
:
Substituo
e
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando:
Posso reconhecer
se quiser, mas vou deixar na forma de produtos de seno e cosseno:
Passo 7
Agora calculo
pelo método (b), derivando
diretamente em relação a
(com
fixo).
Posso tratar
como constante multiplicativa frente a
, então
Calculo
usando a regra do produto:
Multiplicando:
que é exatamente a expressão obtida pelo método (a). Portanto os dois métodos conferem.