Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta as relações (copiei exatamente os símbolos que vieram):
-
. -
. -
.
O que o enunciado pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Observação importante sobre o enunciado: a igualdade
é ambígua/estranha porque define
em função de
(o que não faz sentido aqui). Presumo que houve um erro de digitação e que a intenção é
isto é,
depende de
e
, e que
Vou assumir essas correções para prosseguir (se a fórmula correta for outra, a resolução muda).
Passo 2
Explicando a regra que vamos usar (cadeia para funções de várias variáveis), de forma direta e sem jargão: se
e
,
, então a variação de
em relação a
vem das variações de
e
, e vale
De forma análoga,
Aqui
e
são as derivadas parciais de
tratando
e
como variáveis independentes (ou seja, considerando
como função de
apenas). Depois multiplicamos pelas derivadas parciais de
e
em relação a
e
. Isso é a regra da cadeia multivariável.
Passo 3
Vamos calcular primeiro
e
, tratando
como função de
e
:
- Regra usada: a derivada de
em relação a é
Aqui
. Aplicando cadeia novamente para passar de
para
e
:
- Derivando em relação a
: primeiro , depois . Logo
- Derivando em relação a
: . Logo
Passo 4
Agora calculemos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
, usando as fórmulas que assumimos:
Derivadas de
:
- Para
: trate como constante e derive em relação a . Como é constante, sai multiplicando:
- Para
: trate como constante; a derivada de é , então
Derivadas de
:
- Para
: . Veja como argumento da seno; derivada de é vezes derivada do argumento que em relação a é . Logo
- Para
: derivando em relação a dá
Passo 5
Agora juntamos tudo para
usando a fórmula da cadeia do Passo 2:
Substituindo
,
e as derivadas de
:
Fatorando o denominador comum:
Para deixar tudo em função de
e
(substituir
e
por suas expressões), lembrando
e
, temos
então
Passo 6
Agora calculamos
de forma análoga:
Substituindo as derivadas já obtidas:
Fatorando o denominador:
Substituindo
para ficar explícito em
:
Passo 7
Pequena observação final (útil na prova): as expressões têm denominador
. Para que as derivadas estejam bem definidas (número real), é preciso que o argumento da raiz seja positivo, ou seja que
Na prática, verifique o domínio do problema se for pedido; se o enunciado não restringir
, indique essa condição.