Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=\operatorname{sen}^{-1}(3 x+y): x=r^{2} e^{x}, y=\operatorname{sen} r s ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta as relações (copiei exatamente os símbolos que vieram):
  • u=\operatorname{sen}^{-1}(3x+y).
  • x=r^{2} e^{x}.
  • y=\operatorname{sen} r s.
O que o enunciado pede:
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial r}.
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial s}.
Observação importante sobre o enunciado: a igualdade x=r^{2} e^{x} é ambígua/estranha porque define x em função de x (o que não faz sentido aqui). Presumo que houve um erro de digitação e que a intenção é
x = r^{2} e^{s},
isto é, x depende de r e s, e que
y = \sin(r s).
Vou assumir essas correções para prosseguir (se a fórmula correta for outra, a resolução muda).

Passo 2

Explicando a regra que vamos usar (cadeia para funções de várias variáveis), de forma direta e sem jargão: se u=f(x,y) e x=x(r,s), y=y(r,s), então a variação de u em relação a r vem das variações de x e y, e vale
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}.
De forma análoga,
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} são as derivadas parciais de u tratando x e y como variáveis independentes (ou seja, considerando u como função de (x,y) apenas). Depois multiplicamos pelas derivadas parciais de x e y em relação a r e s. Isso é a regra da cadeia multivariável.

Passo 3

Vamos calcular primeiro \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}, tratando u como função de x e y:
u(x,y)=\operatorname{sen}^{-1}(3x+y)=\arcsin(3x+y).
  • Regra usada: a derivada de \arcsin(z) em relação a z é
\frac{d}{dz}\arcsin(z)=\frac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}.
Aqui z=3x+y. Aplicando cadeia novamente para passar de z para x e y:
  • Derivando em relação a x: primeiro \dfrac{d}{dz}\arcsin(z)=\dfrac{1}{\sqrt{1-z^{2}}}, depois \dfrac{\partial z}{\partial x}=3. Logo
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}\cdot 3=\frac{3}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}.
  • Derivando em relação a y: \dfrac{\partial z}{\partial y}=1. Logo
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}\cdot 1=\frac{1}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}.

Passo 4

Agora calculemos as derivadas parciais de x e y em relação a r e s, usando as fórmulas que assumimos:
x(r,s)=r^{2} e^{s},\qquad y(r,s)=\sin(r s).
Derivadas de x:
  • Para \dfrac{\partial x}{\partial r}: trate s como constante e derive r^{2} e^{s} em relação a r. Como e^{s} é constante, sai multiplicando:
\frac{\partial x}{\partial r}=2r e^{s}.
  • Para \dfrac{\partial x}{\partial s}: trate r como constante; a derivada de e^{s} é e^{s}, então
\frac{\partial x}{\partial s}=r^{2} e^{s}.
Derivadas de y:
  • Para \dfrac{\partial y}{\partial r}: y=\sin(r s). Veja rs como argumento da seno; derivada de \sin(t) é \cos(t) vezes derivada do argumento t=rs que em relação a r é s. Logo
\frac{\partial y}{\partial r}=s\cos(r s).
  • Para \dfrac{\partial y}{\partial s}: derivando \sin(r s) em relação a s
\frac{\partial y}{\partial s}=r\cos(r s).

Passo 5

Agora juntamos tudo para \dfrac{\partial u}{\partial r} usando a fórmula da cadeia do Passo 2:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}.
Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial x}, \dfrac{\partial u}{\partial y} e as derivadas de x,y:
\frac{\partial u}{\partial r}= \frac{3}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}\cdot(2r e^{s}) + \frac{1}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}\cdot(s\cos(r s)).
Fatorando o denominador comum:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{6r e^{s}+s\cos(r s)}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}.
Para deixar tudo em função de r e s (substituir x e y por suas expressões), lembrando x=r^{2}e^{s} e y=\sin(r s), temos
3x+y=3r^{2}e^{s}+\sin(r s),
então
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{6r e^{s}+s\cos(r s)}{\sqrt{\,1-\bigl(3r^{2}e^{s}+\sin(r s)\bigr)^{2}\,}}.

Passo 6

Agora calculamos \dfrac{\partial u}{\partial s} de forma análoga:
\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Substituindo as derivadas já obtidas:
\frac{\partial u}{\partial s}= \frac{3}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}\cdot(r^{2} e^{s}) + \frac{1}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}\cdot(r\cos(r s)).
Fatorando o denominador:
\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{3r^{2} e^{s}+r\cos(r s)}{\sqrt{1-(3x+y)^{2}}}.
Substituindo 3x+y=3r^{2}e^{s}+\sin(r s) para ficar explícito em r,s:
\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{3r^{2} e^{s}+r\cos(r s)}{\sqrt{\,1-\bigl(3r^{2}e^{s}+\sin(r s)\bigr)^{2}\,}}.

Passo 7

Pequena observação final (útil na prova): as expressões têm denominador \sqrt{1-(3r^{2}e^{s}+\sin(r s))^{2}}. Para que as derivadas estejam bem definidas (número real), é preciso que o argumento da raiz seja positivo, ou seja que
-1<3r^{2}e^{s}+\sin(r s)<1.
Na prática, verifique o domínio do problema se for pedido; se o enunciado não restringir r,s, indique essa condição.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{6r e^{s}+s\cos(r s)}{\sqrt{\,1-\bigl(3r^{2}e^{s}+\sin(r s)\bigr)^{2}\,}}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial s}=\frac{3r^{2} e^{s}+r\cos(r s)}{\sqrt{\,1-\bigl(3r^{2}e^{s}+\sin(r s)\bigr)^{2}\,}}

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