Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=x^{2} y z ; x=\frac{r}{s} ; y=r e^{2}, z=r e^{-x}, \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial s}

Passo 1

O enunciado nos dá as relações (peguei todas estas expressões do enunciado):
  • u = x^{2} y z.
  • x = \dfrac{r}{s}.
  • y = r e^{2}.
  • z = r e^{-x}.
O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial r}.
  • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial s}.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (regra da cadeia para derivadas parciais): se u=u(x,y,z) e x=x(r,s),\,y=y(r,s),\,z=z(r,s), então
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial r},
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s} + \frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial s}.
Explicando rápido: \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x mantendo y,z fixos; depois multiplicamos pela variação de x em relação a r (ou s), e somamos as contribuições vindas de y e z.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u em relação a x,y,z (tratando as outras variáveis como constantes):
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2} y z\big) = 2x y z,
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2} y z\big) = x^{2} z,
\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big(x^{2} y z\big) = x^{2} y.
Aqui usei a regra do produto e o fato de que, por exemplo, ao derivar em relação a x tratamos y e z como constantes.

Passo 4

Calcular as derivadas de x,y,z em relação a r e s.
Primeiro x e y:
x = \frac{r}{s}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial x}{\partial r}=\frac{1}{s},\qquad \frac{\partial x}{\partial s}=-\frac{r}{s^{2}}.
y = r e^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial y}{\partial r}=e^{2},\qquad \frac{\partial y}{\partial s}=0.
Agora z. Como z=r e^{-x}, há produto e dependência via x. Use produto e regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\big(r e^{-x}\big) = e^{-x} + r\cdot e^{-x}\cdot\big(-\frac{\partial x}{\partial r}\big).
Substituindo \dfrac{\partial x}{\partial r}=\dfrac{1}{s},
\frac{\partial z}{\partial r} = e^{-x} - r e^{-x}\cdot\frac{1}{s} = e^{-x}\Big(1-\frac{r}{s}\Big) = e^{-x}(1-x),
onde usei \dfrac{r}{s}=x.
Para \dfrac{\partial z}{\partial s}:
\frac{\partial z}{\partial s} = \frac{\partial}{\partial s}\big(r e^{-x}\big) = r\cdot e^{-x}\cdot\big(-\frac{\partial x}{\partial s}\big)
pois r é tratado como constante ao derivar em relação a s. Com \dfrac{\partial x}{\partial s}=-\dfrac{r}{s^{2}},
\frac{\partial z}{\partial s} = r e^{-x}\cdot\Big(-\big(-\frac{r}{s^{2}}\big)\Big) = r e^{-x}\cdot\frac{r}{s^{2}} = \frac{r^{2}}{s^{2}} e^{-x} = x^{2} e^{-x},
pois \dfrac{r^{2}}{s^{2}}=(\dfrac{r}{s})^{2}=x^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial u}{\partial r} usando os resultados:
\frac{\partial u}{\partial r} = (2x y z)\cdot\frac{1}{s} + (x^{2} z)\cdot e^{2} + (x^{2} y)\cdot e^{-x}(1-x).
Esta é uma forma em termos de x,y,z. Para simplificar, substituímos x=\dfrac{r}{s}, y=r e^{2}, z=r e^{-x}. Primeiro calculemos o produto comum y z = (r e^{2})(r e^{-x})=r^{2} e^{2-x}. Substituindo e simplificando termo a termo chegamos a
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{2r^{3}}{s^{2}} e^{2-x} + \frac{r^{3}}{s^{2}} e^{2-x} + \frac{r^{3}}{s^{2}} e^{2-x}(1-x).
Somando os coeficientes:
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{r^{3}}{s^{2}} e^{2-x}\big(2+1+1-x\big) = \frac{r^{3}}{s^{2}} e^{2-x}(4-x).
Lembrando x=\dfrac{r}{s}, pode-se também escrever
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{r^{3}}{s^{2}} \, e^{2-\frac{r}{s}} \!\left(4-\frac{r}{s}\right).

Passo 6

Agora \dfrac{\partial u}{\partial s}. Usando a regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial s} = (2x y z)\cdot\Big(-\frac{r}{s^{2}}\Big) + (x^{2} z)\cdot 0 + (x^{2} y)\cdot x^{2} e^{-x}.
Ou seja
\frac{\partial u}{\partial s} = -2x y z\frac{r}{s^{2}} + x^{4} y e^{-x}.
Novamente substituímos x=\dfrac{r}{s}, y=r e^{2}, z=r e^{-x} e simplificamos. É mais direto observar que, substituindo tudo em u antes, tem-se
u(r,s)=\frac{r^{4}}{s^{2}} e^{2-\frac{r}{s}},
e derivando diretamente em relação a s (com r constante) obtemos, após cálculo e fatoração,
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{r^{4}}{s^{4}} e^{2-\frac{r}{s}}(r-2s).
Podemos também reescrever em forma que usa x=\dfrac{r}{s}:
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{r^{3}}{s^{2}} e^{2-x}\, x(x-2).
Ambas as formas são equivalentes (use a que preferir).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{r^{3}}{s^{2}}\,e^{\,2-\frac{r}{s}}\!\left(4-\frac{r}{s}\right)
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial s}=\frac{r^{4}}{s^{4}}\,e^{\,2-\frac{r}{s}}(r-2s)

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