Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado nos dá as relações (peguei todas estas expressões do enunciado):
-
. -
. -
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (regra da cadeia para derivadas parciais): se
e
, então
Explicando rápido:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixos; depois multiplicamos pela variação de
em relação a
(ou
), e somamos as contribuições vindas de
e
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
em relação a
(tratando as outras variáveis como constantes):
Aqui usei a regra do produto e o fato de que, por exemplo, ao derivar em relação a
tratamos
e
como constantes.
Passo 4
Calcular as derivadas de
em relação a
e
.
Primeiro
e
:
Agora
. Como
, há produto e dependência via
. Use produto e regra da cadeia:
Substituindo
,
onde usei
.
Para
:
pois
é tratado como constante ao derivar em relação a
. Com
,
pois
.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para
usando os resultados:
Esta é uma forma em termos de
. Para simplificar, substituímos
,
,
. Primeiro calculemos o produto comum
. Substituindo e simplificando termo a termo chegamos a
Somando os coeficientes:
Lembrando
, pode-se também escrever
Passo 6
Agora
. Usando a regra da cadeia:
Ou seja
Novamente substituímos
,
,
e simplificamos. É mais direto observar que, substituindo tudo em
antes, tem-se
e derivando diretamente em relação a
(com
constante) obtemos, após cálculo e fatoração,
Podemos também reescrever em forma que usa
:
Ambas as formas são equivalentes (use a que preferir).