Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=x e^{-\eta} ; x=\operatorname{tg}^{-1}(r s t), y=\ln (3 r s+5 s t) ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial s} ; \frac{\partial u}{\partial t}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei e interpretei o enunciado diretamente):
  • Função dependente de x e de \eta: u = x e^{-\eta}.
  • Foi fornecido x=\operatorname{tg}^{-1}(r s t) e y=\ln(3 r s+5 s t).
  • Pede-se as derivadas parciais \dfrac{\partial u}{\partial r}, \dfrac{\partial u}{\partial s} e \dfrac{\partial u}{\partial t}.
Observação importante sobre notação: no enunciado aparece \eta em u e aparece y na definição logarítmica. Vou assumir que \eta é a mesma função que y (isto é, \eta=y=\ln(3 r s+5 s t)). Se essa suposição estiver errada, as fórmulas abaixo devem ser ajustadas substituindo \eta pela definição correta.

Passo 2

Relembrando a regra da cadeia para funções compostas (aula rápida): se u=u(x,y) e x e y dependem de r,s,t, então, por exemplo,
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y} são derivadas de u tratando x e y como variáveis independentes. Vamos calcular essas derivadas parciais de u primeiro.
Calcule u_x e u_y para u(x,y)=x e^{-y}.
  • Derivada em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial u}{\partial x}=e^{-y}.
Explicação: x aparece multiplicando e^{-y} (que é constante ao derivar em relação a x), então o derivado é e^{-y}.
  • Derivada em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial u}{\partial y}=x\cdot\frac{d}{dy}\bigl(e^{-y}\bigr)=x\cdot(-e^{-y})=-x e^{-y}.
Explicação: usa-se a regra da cadeia para e^{-y}: \dfrac{d}{dy}e^{-y}= -e^{-y}.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de x=\operatorname{tg}^{-1}(r s t) em relação a r,s,t.
Lembrete: \operatorname{tg}^{-1}(u) é \arctan(u) e sua derivada é \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^2}. Aplicando a regra da cadeia com u=r s t:
  • Derivada de x em relação a r:
\frac{\partial x}{\partial r}=\frac{1}{1+(r s t)^2}\cdot\frac{\partial}{\partial r}(r s t)=\frac{1}{1+(r s t)^2}\cdot(s t)=\frac{s t}{1+(r s t)^2}.
  • Derivada de x em relação a s:
\frac{\partial x}{\partial s}=\frac{r t}{1+(r s t)^2}.
  • Derivada de x em relação a t:
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{r s}{1+(r s t)^2}.
Cada resultado veio de x'=\dfrac{(r s t)'}{1+(r s t)^2} com a derivada do produto r s t em relação à variável considerada.

Passo 4

Agora as derivadas parciais de y=\ln(3 r s+5 s t).
Lembrete: \dfrac{d}{dz}\ln(z)=\dfrac{1}{z}. Pela regra da cadeia, se y=\ln(v(r,s,t)) então \partial y/\partial r = v_r/v, etc.
Denotando v=3 r s+5 s t:
  • Derivada em relação a r:
\frac{\partial y}{\partial r}=\frac{1}{3 r s+5 s t}\cdot\frac{\partial}{\partial r}(3 r s+5 s t)=\frac{3 s}{3 r s+5 s t}.
  • Derivada em relação a s:
\frac{\partial y}{\partial s}=\frac{3 r+5 t}{3 r s+5 s t}.
Observação: pode-se simplificar a expressão porque 3 r s+5 s t=s(3 r+5 t), logo
\frac{\partial y}{\partial s}=\frac{3 r+5 t}{s(3 r+5 t)}=\frac{1}{s},
desde que s\neq 0. É uma simplificação útil para cálculo.
  • Derivada em relação a t:
\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{5 s}{3 r s+5 s t}.
Também pode-se reescrever \dfrac{5 s}{3 r s+5 s t}=\dfrac{5}{3 r+5 t} quando s\neq 0, mas manteremos a forma direta para clareza.

Passo 5

Agora juntamos tudo usando a regra da cadeia. Primeiro escrevo a forma geral (antes de substituir x e y):
\frac{\partial u}{\partial r}=u_x\frac{\partial x}{\partial r}+u_y\frac{\partial y}{\partial r} = e^{-y}\cdot\frac{\partial x}{\partial r} + (-x e^{-y})\cdot\frac{\partial y}{\partial r} = e^{-y}\!\left(\frac{\partial x}{\partial r}-x\frac{\partial y}{\partial r}\right).
Substituindo os valores de \partial x/\partial r e \partial y/\partial r obtidos:
\frac{\partial u}{\partial r} = e^{-y}\left(\frac{s t}{1+(r s t)^2}-x\cdot\frac{3 s}{3 r s+5 s t}\right).
Agora substitui-se x=\arctan(r s t) e e^{-y}=e^{-\ln(3 r s+5 s t)}=\dfrac{1}{3 r s+5 s t} para uma forma totalmente em r,s,t:
\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{3 r s+5 s t}\left(\frac{s t}{1+(r s t)^2}-\arctan(r s t)\cdot\frac{3 s}{3 r s+5 s t}\right).
Essa é uma forma final correta e explícita para \dfrac{\partial u}{\partial r}. Pode-se fatorar s se quiser, mas a expressão acima já está clara.

Passo 6

Mesma ideia para \dfrac{\partial u}{\partial s}.
Fórmula geral:
\frac{\partial u}{\partial s}=e^{-y}\left(\frac{\partial x}{\partial s}-x\frac{\partial y}{\partial s}\right).
Substituindo \partial x/\partial s e \partial y/\partial s:
\frac{\partial u}{\partial s} = e^{-y}\left(\frac{r t}{1+(r s t)^2}-x\cdot\frac{3 r+5 t}{3 r s+5 s t}\right).
Usando a simplificação \dfrac{3 r+5 t}{3 r s+5 s t}=\dfrac{1}{s} (quando s\neq0) e e^{-y}=\dfrac{1}{3 r s+5 s t}, uma forma prática é:
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{1}{3 r s+5 s t}\left(\frac{r t}{1+(r s t)^2}-\arctan(r s t)\cdot\frac{1}{s}\right).
Ou, explicitando sem usar a simplificação:
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{1}{3 r s+5 s t}\left(\frac{r t}{1+(r s t)^2}-\arctan(r s t)\cdot\frac{3 r+5 t}{3 r s+5 s t}\right).
Ambas estão corretas; a primeira é mais simples quando s\neq0.

Passo 7

Finalmente \dfrac{\partial u}{\partial t}.
Fórmula geral:
\frac{\partial u}{\partial t}=e^{-y}\left(\frac{\partial x}{\partial t}-x\frac{\partial y}{\partial t}\right).
Substituindo \partial x/\partial t e \partial y/\partial t:
\frac{\partial u}{\partial t} = e^{-y}\left(\frac{r s}{1+(r s t)^2}-x\cdot\frac{5 s}{3 r s+5 s t}\right).
Substituindo x=\arctan(r s t) e e^{-y}=\dfrac{1}{3 r s+5 s t}:
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{3 r s+5 s t}\left(\frac{r s}{1+(r s t)^2}-\arctan(r s t)\cdot\frac{5 s}{3 r s+5 s t}\right).
Também aqui se quiser pode-se fatorar s no numerador.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{3 r s+5 s t}\left(\frac{s t}{1+(r s t)^2}-\arctan(r s t)\cdot\frac{3 s}{3 r s+5 s t}\right)
\frac{\partial u}{\partial s} = \frac{1}{3 r s+5 s t}\left(\frac{r t}{1+(r s t)^2}-\arctan(r s t)\cdot\frac{3 r+5 t}{3 r s+5 s t}\right)
\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{3 r s+5 s t}\left(\frac{r s}{1+(r s t)^2}-\arctan(r s t)\cdot\frac{5 s}{3 r s+5 s t}\right)

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