Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei e interpretei o enunciado diretamente):
- Função dependente de
e de : . - Foi fornecido
e . - Pede-se as derivadas parciais
, e .
Observação importante sobre notação: no enunciado aparece
em
e aparece
na definição logarítmica. Vou assumir que
é a mesma função que
(isto é,
). Se essa suposição estiver errada, as fórmulas abaixo devem ser ajustadas substituindo
pela definição correta.
Passo 2
Relembrando a regra da cadeia para funções compostas (aula rápida): se
e
e
dependem de
, então, por exemplo,
Aqui
e
são derivadas de
tratando
e
como variáveis independentes. Vamos calcular essas derivadas parciais de
primeiro.
Calcule
e
para
.
- Derivada em relação a
(tratando como constante):
Explicação:
aparece multiplicando
(que é constante ao derivar em relação a
), então o derivado é
.
- Derivada em relação a
(tratando como constante):
Explicação: usa-se a regra da cadeia para
:
.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
em relação a
.
Lembrete:
é
e sua derivada é
. Aplicando a regra da cadeia com
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Cada resultado veio de
com a derivada do produto
em relação à variável considerada.
Passo 4
Agora as derivadas parciais de
.
Lembrete:
. Pela regra da cadeia, se
então
, etc.
Denotando
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Observação: pode-se simplificar a expressão porque
, logo
desde que
. É uma simplificação útil para cálculo.
- Derivada em relação a
:
Também pode-se reescrever
quando
, mas manteremos a forma direta para clareza.
Passo 5
Agora juntamos tudo usando a regra da cadeia. Primeiro escrevo a forma geral (antes de substituir
e
):
Substituindo os valores de
e
obtidos:
Agora substitui-se
e
para uma forma totalmente em
:
Essa é uma forma final correta e explícita para
. Pode-se fatorar
se quiser, mas a expressão acima já está clara.
Passo 6
Mesma ideia para
.
Fórmula geral:
Substituindo
e
:
Usando a simplificação
(quando
) e
, uma forma prática é:
Ou, explicitando sem usar a simplificação:
Ambas estão corretas; a primeira é mais simples quando
.
Passo 7
Finalmente
.
Fórmula geral:
Substituindo
e
:
Substituindo
e
:
Também aqui se quiser pode-se fatorar
no numerador.