Ache a derivada total
frac{d u}{d t} por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituicōes de x, y e z antes da diferenciação
(u=y e^{x}+x e^{y} ; x=cos t ; y=operatorname{sen} t)
Passo 1
O enunciado dá claramente as funções e pede a derivada total \dfrac{d u}{d t}. Vou listar o que temos (sem resolver ainda):
u = y e^{x} + x e^{y}.
x = \cos t.
y = \operatorname{sen} t.
O que é pedido:
(a) Calcular \dfrac{d u}{d t} usando a regra da cadeia (tratar u como função de x e y, que por sua vez dependem de t).
(b) Calcular \dfrac{d u}{d t} primeiro fazendo as substituições x(t) e y(t) em u e em seguida diferenciando a função resultante de t.
Passo 2
Explicando a ideia da regra da cadeia (passo pedagógico): quando u depende de x e y e ambos dependem de t, a taxa de variação total de u em relação a t é obtida somando as contribuições de cada caminho x(t) e y(t). A fórmula é:
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x mantendo y fixo, e \dfrac{\partial u}{\partial y} é a derivada parcial de u em relação a y mantendo x fixo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de u. Lembra: ao diferenciar em relação a x tratamos y como constante; ao diferenciar em relação a y tratamos x como constante.
Aplicar a fórmula da regra da cadeia juntando os resultados:
\frac{d u}{d t}=(y e^{x}+e^{y})(-\,\operatorname{sen} t)+(e^{x}+x e^{y})\cos t.
Aqui usei explicitamente \dfrac{d x}{d t}=-\operatorname{sen} t e \dfrac{d y}{d t}=\cos t. Podemos simplificar e, se quisermos, substituir x=\cos t e y=\operatorname{sen} t para obter forma só em t. Primeiro reescrevendo em termos de x e y (note que \cos t = x e \operatorname{sen} t = y):