Ache a derivada total
frac{d u}{d t} por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituicōes de x, y e z antes da diferenciação
(u=y e^{x}+x e^{y} ; x=cos t ; y=operatorname{sen} t)

Passo 1

O enunciado dá claramente as funções e pede a derivada total \dfrac{d u}{d t}. Vou listar o que temos (sem resolver ainda):
  • u = y e^{x} + x e^{y}.
  • x = \cos t.
  • y = \operatorname{sen} t.
O que é pedido:
(a) Calcular \dfrac{d u}{d t} usando a regra da cadeia (tratar u como função de x e y, que por sua vez dependem de t).
(b) Calcular \dfrac{d u}{d t} primeiro fazendo as substituições x(t) e y(t) em u e em seguida diferenciando a função resultante de t.

Passo 2

Explicando a ideia da regra da cadeia (passo pedagógico): quando u depende de x e y e ambos dependem de t, a taxa de variação total de u em relação a t é obtida somando as contribuições de cada caminho x(t) e y(t). A fórmula é:
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial x}\,\frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y}\,\frac{d y}{d t}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x mantendo y fixo, e \dfrac{\partial u}{\partial y} é a derivada parcial de u em relação a y mantendo x fixo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u. Lembra: ao diferenciar em relação a x tratamos y como constante; ao diferenciar em relação a y tratamos x como constante.
Derivando u=y e^{x}+x e^{y} em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=y\cdot e^{x}+\underbrace{\frac{\partial}{\partial x}(x e^{y})}_{=e^{y}}=y e^{x}+e^{y}.
Derivando u em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}= \underbrace{\frac{\partial}{\partial y}(y e^{x})}_{=e^{x}}+x\cdot e^{y}=e^{x}+x e^{y}.

Passo 4

Calcular \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t} a partir de x=\cos t e y=\operatorname{sen} t:
\frac{d x}{d t}=\frac{d}{dt}(\cos t)=-\operatorname{sen} t, \qquad \frac{d y}{d t}=\frac{d}{dt}(\operatorname{sen} t)=\cos t.

Passo 5

Aplicar a fórmula da regra da cadeia juntando os resultados:
\frac{d u}{d t}=(y e^{x}+e^{y})(-\,\operatorname{sen} t)+(e^{x}+x e^{y})\cos t.
Aqui usei explicitamente \dfrac{d x}{d t}=-\operatorname{sen} t e \dfrac{d y}{d t}=\cos t. Podemos simplificar e, se quisermos, substituir x=\cos t e y=\operatorname{sen} t para obter forma só em t. Primeiro reescrevendo em termos de x e y (note que \cos t = x e \operatorname{sen} t = y):
\frac{d u}{d t}= -y(y e^{x}+e^{y})+x(e^{x}+x e^{y}).
Agora expandindo e agrupando termos:
\frac{d u}{d t}=e^{x}(x-y^{2})+e^{y}(x^{2}-y).

Passo 6

Agora o método (b): primeiro substituo x(t) e y(t) em u para obter u como função explícita de t:
u(t)=\operatorname{sen} t\; e^{\cos t}+\cos t\; e^{\operatorname{sen} t}.
Para diferenciar u(t) vou usar a regra do produto e a regra da cadeia clássicas em uma variável:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dt}[f(t)g(t)]=f'(t)g(t)+f(t)g'(t).
  • Regra da cadeia para e^{h(t)}: \dfrac{d}{dt}e^{h(t)}=e^{h(t)}\cdot h'(t).

Passo 7

Diferencio a primeira parcela \operatorname{sen} t\; e^{\cos t} usando produto:
  • \dfrac{d}{dt}(\operatorname{sen} t)=\cos t.
  • \dfrac{d}{dt}(e^{\cos t})=e^{\cos t}\cdot(-\operatorname{sen} t) (regra da cadeia).
Logo a derivada da primeira parcela é
\cos t\; e^{\cos t}+\operatorname{sen} t \cdot \bigl(e^{\cos t}(-\operatorname{sen} t)\bigr) = e^{\cos t}\cos t - e^{\cos t}\operatorname{sen}^{2} t.

Passo 8

Diferencio a segunda parcela \cos t\; e^{\operatorname{sen} t}:
  • \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\operatorname{sen} t.
  • \dfrac{d}{dt}(e^{\operatorname{sen} t})=e^{\operatorname{sen} t}\cdot\cos t.
Pelo produto:
-\operatorname{sen} t\; e^{\operatorname{sen} t}+\cos t\cdot \bigl(e^{\operatorname{sen} t}\cos t\bigr) = -e^{\operatorname{sen} t}\operatorname{sen} t + e^{\operatorname{sen} t}\cos^{2} t.

Passo 9

Somando as derivações das duas parcelas obtemos:
\frac{d u}{d t}=e^{\cos t}(\cos t-\operatorname{sen}^{2} t)+e^{\operatorname{sen} t}(\cos^{2} t-\operatorname{sen} t).
Se fizer a substituição \cos t=x e \operatorname{sen} t=y nessa expressão, volta-se à forma obtida pelo método (a):
\frac{d u}{d t}=e^{x}(x-y^{2})+e^{y}(x^{2}-y).
Portanto os dois métodos dão a mesma resposta, como deve acontecer. Força aí — já trazes o resultado pronto pra usar na prova!

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d u}{d t}=e^{x}(x-y^{2})+e^{y}(x^{2}-y)\n
(b) \displaystyle \frac{d u}{d t}=e^{\cos t}\bigl(\cos t-\operatorname{sen}^{2} t\bigr)+e^{\operatorname{sen} t}\bigl(\cos^{2} t-\operatorname{sen} t\bigr)

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