(2.0ptos) Calcule a integral tripla \iiint_{E} z d V, onde E é a região situada acima do cone z= \sqrt{x^{2}+y^{2}} e dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} z\, dV,
onde a região E é descrita por:
  • está acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}};
  • está dentro da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A superfície esférica tem raio 3 (pois x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 implica \rho=3 se usarmos coordenadas esféricas).
  • O cone é dado por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Quer-se o valor numérico da integral \displaystyle \iiint_{E} z\, dV.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e por quê (explicação didática e intuitiva).
  • Quando a região é limitada por uma esfera e por um cone que passa pela origem, coordenadas esféricas tornam-se muito práticas porque a esfera vira uma superfície com \rho= constante e o cone vira uma superfície com \varphi= constante. Isso simplifica muito os limites de integração.
  • Definição das coordenadas esféricas (explicando cada variável):
    • \rho é a distância do ponto à origem (ou seja \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}).
    • \theta é o ângulo no plano xy (o mesmo que em coordenadas polares), variando de 0 a 2\pi.
    • \varphi é o ângulo medido a partir do eixo z positivo até o raio \rho (ou seja \varphi=0 no eixo +z e \varphi=\pi/2 no plano xy).
  • Relações úteis: x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
  • Interpretação do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\quad\Longrightarrow\quad \rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi.Dividindo por \rho (ponto não é necessariamente a origem, e se for a origem a condição é trivially satisfeita), obtemos \cos\varphi=\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \tan\varphi=1 \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.Logo o cone corresponde à superfície \varphi=\pi/4.
  • A região “acima do cone” significa pontos com z maiores, ou seja ângulos \varphi menores que \pi/4. Portanto \varphi varia de 0 até \pi/4.
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 é \rho=3.
  • Conclusão sobre os limites: 0\le \rho \le 3,\qquad 0\le \varphi \le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le \theta \le 2\pi.

Passo 3

Expressar o integrando e o elemento de volume em coordenadas esféricas (aula sobre o jacobiano).
  • Em esféricas, z=\rho\cos\varphi.
  • O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.Explicação do porquê: ao transformar de coordenadas cartesianas para esféricas, o fator de escala (jacobiano) aparece como \rho^{2}\sin\varphi; geometricamente \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta corresponde ao volume de um pequeno “paralelepípedo” esférico com dimensões aproximadas d\rho, \rho\, d\varphi e \rho\sin\varphi\, d\theta.
  • Portanto o integrando z\, dV vira z\, dV = (\rho\cos\varphi)\cdot(\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta) = \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.

Passo 4

Montar a integral tripla em coordenadas esféricas com os limites encontrados:
\iiint_{E} z\, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/4}\int_{\rho=0}^{3} \rho^{3}\cos\varphi\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Aqui cada limite está justificado pelas discussões anteriores:
  • \rho vai de 0 até a esfera \rho=3;
  • \varphi vai de 0 até o cone \varphi=\pi/4;
  • \theta percorre toda a volta 0 a 2\pi.

Passo 5

Integrar em \rho primeiro (passo a passo, explicando a técnica).
  • A parte em \rho é separável porque a função se separa como \rho^{3} vezes uma função de \varphi e \theta. Então: \int_{0}^{3}\rho^{3}\, d\rho = \left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{3} = \frac{3^{4}}{4} = \frac{81}{4}.
  • Após integrar em \rho, a integral reduz para \left(\frac{81}{4}\right)\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi\, d\theta.

Passo 6

Integrar em \varphi (mostrar técnica de substituição simples e explicar).
  • Para integrar \int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi use a substituição u=\sin\varphi, então du=\cos\varphi\, d\varphi.
  • Assim \int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi = \int_{u(0)}^{u(\pi/4)} u\, du = \left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{\sin(\pi/4)} = \frac{1}{2}\sin^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
  • Como \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos \sin^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2},logo \int_{0}^{\pi/4} \cos\varphi\sin\varphi\, d\varphi = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Passo 7

Integrar em \theta e juntar tudo (cálculo final, mas a resposta final ficará somente na seção "

Resposta

\displaystyle \frac{81\pi}{8}

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