(3.0ptos) Calcule o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+5 \mathbf{k} através da superfície S que é a parte do gráfico da função f(x, y)=4-x^{2}-y^{2} que está acima do plano z=0, com orientação para cima.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+5\mathbf{k} e a superfície S que é a parte do gráfico da função \;f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}\; que está acima do plano \;z=0\;, com orientação para cima. As coisas que precisamos identificar claramente:
A superfície S é o conjunto de pontos (x,y,z) com z=4-x^{2}-y^{2} e z\ge0.
A região projetada no plano xy (chamarei de D) é o disco onde 4-x^{2}-y^{2}\ge0, ou seja \;x^{2}+y^{2}\le4\;.
O que o problema pede: calcular o fluxo de \mathbf{F} através de S com orientação para cima, isto é o valor da integral de superfície
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
onde \mathbf{n} é o vetor normal compatível com a orientação para cima.
Passo 2
Explicar a fórmula que vamos usar (passo-a-passo e didático).
Para uma superfície dada como gráfico de uma função \;z=g(x,y)\; parametrizada por \mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)) sobre a região D no plano xy, um vetor normal (não normalizado) compatível com a orientação para cima é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-g_x,-g_y,1).
Portanto o fluxo de \mathbf{F}=(P,Q,R) através da superfície orientada para cima é