(3.0ptos) Calcule o fluxo do campo vetorial \mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+5 \mathbf{k} através da superfície S que é a parte do gráfico da função f(x, y)=4-x^{2}-y^{2} que está acima do plano z=0, com orientação para cima.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+5\mathbf{k} e a superfície S que é a parte do gráfico da função \;f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}\; que está acima do plano \;z=0\;, com orientação para cima. As coisas que precisamos identificar claramente:
  • A superfície S é o conjunto de pontos (x,y,z) com z=4-x^{2}-y^{2} e z\ge0.
  • A região projetada no plano xy (chamarei de D) é o disco onde 4-x^{2}-y^{2}\ge0, ou seja \;x^{2}+y^{2}\le4\;.
    O que o problema pede: calcular o fluxo de \mathbf{F} através de S com orientação para cima, isto é o valor da integral de superfície
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
onde \mathbf{n} é o vetor normal compatível com a orientação para cima.

Passo 2

Explicar a fórmula que vamos usar (passo-a-passo e didático).
  • Para uma superfície dada como gráfico de uma função \;z=g(x,y)\; parametrizada por \mathbf{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)) sobre a região D no plano xy, um vetor normal (não normalizado) compatível com a orientação para cima é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-g_x,-g_y,1).
  • Portanto o fluxo de \mathbf{F}=(P,Q,R) através da superfície orientada para cima é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}\mathbf{F}(x,y,g(x,y))\cdot(-g_x,-g_y,1)\,dA.
Explicando cada termo:
  • g_x e g_y são as derivadas parciais de g em relação a x e y.
  • \mathbf{F}(x,y,g(x,y)) significa avaliar o campo no ponto da superfície acima de (x,y).
  • dA é o elemento de área no plano xy.
    Essa fórmula vem de parametrizar a superfície e usar \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y como vetor área orientado.

Passo 3

Aplicar essa formula ao nosso caso. Aqui g(x,y)=4-x^{2}-y^{2}. Calculemos as derivadas parciais:
g_x=\frac{\partial}{\partial x}(4-x^{2}-y^{2})=-2x, \qquad g_y=\frac{\partial}{\partial y}(4-x^{2}-y^{2})=-2y.
Logo o vetor normal (não normalizado) orientado para cima é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = (-g_x,-g_y,1)=(2x,2y,1).

Passo 4

Avaliar \mathbf{F} na superfície e fazer o produto escalar com o vetor área. Temos \mathbf{F}(x,y,g(x,y))=(x,y,5). Então
\mathbf{F}\cdot(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y)=x\cdot(2x)+y\cdot(2y)+5\cdot1=2x^{2}+2y^{2}+5.
Portanto o fluxo reduz-se à integral dupla sobre D:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}\bigl(2x^{2}+2y^{2}+5\bigr)\,dA.

Passo 5

Descrever a região de integração D e escolher coordenadas convenientes.
  • Como já identifiquei, D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}, ou seja raio 2 centrado na origem.
  • Para integrar funções que dependem de x^{2}+y^{2} é muito mais prático usar coordenadas polares:
    • x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
    • x^{2}+y^{2}=r^{2}.
    • O elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta.
      Assim substituímos na integral.

Passo 6

Escrever a integral em polares e simplificar o integrando. Como 2x^{2}+2y^{2}+5=2r^{2}+5 e dA=r\,dr\,d\theta, a integral fica
\iint_{D}\bigl(2x^{2}+2y^{2}+5\bigr)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(2r^{2}+5\bigr)r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\bigl(2r^{3}+5r\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral interna em r.
\int_{0}^{2}\bigl(2r^{3}+5r\bigr)\,dr =2\int_{0}^{2}r^{3}\,dr+5\int_{0}^{2}r\,dr.
Calcule cada termo:
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4,
\int_{0}^{2}r\,dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2.
Logo
2\int_{0}^{2}r^{3}\,dr+5\int_{0}^{2}r\,dr =2\cdot4+5\cdot2=8+10=18.

Passo 8

Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} 18\,d\theta =18\cdot(2\pi)=36\pi.
Portanto o fluxo pedido é 36\pi.

Resposta

36\pi

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