Ache a derivada total
, usando a regra da cadeia:
e
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado:
. - Dado:
, e . - Pedido: encontrar a derivada total
em função de .
Em palavras:
depende de
e cada uma dessas depende de
. Preciso usar a regra da cadeia para funções compostas para obter
.
Passo 2
Relembrando a regra da cadeia para derivada total (mini-aula rápida e prática):
Se
e
,
,
, então a derivada total de
em relação a
é dada por
Explicando cada termo:
-
é a derivada de supondo fixos — chama-se derivada parcial. -
é a derivada de em relação a . - Somamos os três produtos porque cada caminho
contribui para a variação total de .
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Primeiro reescrever
de forma conveniente:
Agora derivada parcial em relação a
(tratando
como constantes):
Analogamente,
Breve justificativa: para
vale
; aplicou-se a isso com
e usou-se a regra da cadeia interna (derivada de
é
, etc.).
Passo 4
Calcular as derivadas de
em relação a
. São derivadas trigonométricas básicas:
Lembrete rápido:
,
,
.
Passo 5
Montar a expressão da regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas:
Colocando o denominador comum:
Passo 6
Substituir agora
,
e
na expressão obtida:
Observar o numerador:
. Logo esses dois termos se cancelam.
Passo 7
Depois do cancelamento sobra no numerador:
No denominador usar a identidade trigonométrica
, então
Portanto uma forma simplificada é
Passo 8
Nota sobre a raíz:
. Assim uma forma alternativa, equivalente para todos os
onde está definida, é
Dependendo do contexto (se assumir
em uma faixa de
) pode-se escrever simplesmente
, mas a forma com raiz evita assumir o sinal.