Ache a derivada total {\frac{d w}{d x}}, usando a regra da cadeia:
w=\sqrt{u^{2}+v^{2}+z^{2}}, u=\tan x, v=\cos x e z=\sin x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: w=\sqrt{u^{2}+v^{2}+z^{2}}.
  • Dado: u=\tan x, v=\cos x e z=\sin x.
  • Pedido: encontrar a derivada total \dfrac{d w}{d x} em função de x.
Em palavras: w depende de u,v,z e cada uma dessas depende de x. Preciso usar a regra da cadeia para funções compostas para obter \dfrac{dw}{dx}.

Passo 2

Relembrando a regra da cadeia para derivada total (mini-aula rápida e prática):
Se w=w(u,v,z) e u=u(x), v=v(x), z=z(x), então a derivada total de w em relação a x é dada por
\frac{dw}{dx}=\frac{\partial w}{\partial u}\frac{du}{dx}+\frac{\partial w}{\partial v}\frac{dv}{dx}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{dz}{dx}.
Explicando cada termo:
  • \dfrac{\partial w}{\partial u} é a derivada de w supondo v,z fixos — chama-se derivada parcial.
  • \dfrac{du}{dx} é a derivada de u em relação a x.
  • Somamos os três produtos porque cada caminho u(x),v(x),z(x) contribui para a variação total de w.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de w. Primeiro reescrever w de forma conveniente:
w=(u^{2}+v^{2}+z^{2})^{1/2}.
Agora derivada parcial em relação a u (tratando v,z como constantes):
\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{1}{2}(u^{2}+v^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2u=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+z^{2}}}.
Analogamente,
\frac{\partial w}{\partial v}=\frac{v}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+z^{2}}},\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+z^{2}}}.
Breve justificativa: para f(t)=(t)^{1/2} vale f'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}; aplicou-se a isso com t=u^{2}+v^{2}+z^{2} e usou-se a regra da cadeia interna (derivada de u^2 é 2u, etc.).

Passo 4

Calcular as derivadas de u,v,z em relação a x. São derivadas trigonométricas básicas:
u=\tan x\quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dx}=\operatorname{sec}^{2}x.
v=\cos x\quad\Rightarrow\quad \frac{dv}{dx}=-\sin x.
z=\sin x\quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dx}=\cos x.
Lembrete rápido: \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x, \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.

Passo 5

Montar a expressão da regra da cadeia substituindo as parciais e as derivadas:
\frac{dw}{dx}=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+z^{2}}}\cdot\operatorname{sec}^{2}x +\frac{v}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+z^{2}}}\cdot(-\sin x) +\frac{z}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+z^{2}}}\cdot\cos x.
Colocando o denominador comum:
\frac{dw}{dx}=\frac{u\operatorname{sec}^{2}x - v\sin x + z\cos x}{\sqrt{u^{2}+v^{2}+z^{2}}}.

Passo 6

Substituir agora u=\tan x, v=\cos x e z=\sin x na expressão obtida:
\frac{dw}{dx}=\frac{\tan x\operatorname{sec}^{2}x - (\cos x)\sin x + (\sin x)\cos x}{\sqrt{\tan^{2}x+\cos^{2}x+\sin^{2}x}}.
Observar o numerador: -\cos x\sin x + \sin x\cos x = 0. Logo esses dois termos se cancelam.

Passo 7

Depois do cancelamento sobra no numerador:
\frac{dw}{dx}=\frac{\tan x\operatorname{sec}^{2}x}{\sqrt{\tan^{2}x+\cos^{2}x+\sin^{2}x}}.
No denominador usar a identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, então
\sqrt{\tan^{2}x+\cos^{2}x+\sin^{2}x}=\sqrt{\tan^{2}x+1}=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}x}.
Portanto uma forma simplificada é
\frac{dw}{dx}=\frac{\tan x\operatorname{sec}^{2}x}{\sqrt{\operatorname{sec}^{2}x}}.

Passo 8

Nota sobre a raíz: \sqrt{\operatorname{sec}^{2}x}=|\operatorname{sec} x|. Assim uma forma alternativa, equivalente para todos os x onde está definida, é
\frac{dw}{dx}=\frac{\tan x\operatorname{sec}^{2}x}{\sqrt{\tan^{2}x+1}}=\tan x\;|\operatorname{sec} x|.
Dependendo do contexto (se assumir \operatorname{sec} x>0 em uma faixa de x) pode-se escrever simplesmente \tan x\operatorname{sec} x, mas a forma com raiz evita assumir o sinal.

Resposta

\displaystyle \frac{dw}{dx}=\frac{\tan x\operatorname{sec}^{2}x}{\sqrt{\tan^{2}x+1}}
\displaystyle \text{(equivalentemente: }\frac{dw}{dx}=\tan x\,|\operatorname{sec} x|\text{)}

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