Calcule os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(e^{\cos (3 x+y)}+\operatorname{sec} 5 x y\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y) se aproxima de (0,0) da função
e^{\cos(3x+y)}+\operatorname{sec}(5xy).
As informações dadas são:
  • A função a ser analisada é (x,y)\mapsto e^{\cos(3x+y)}+\operatorname{sec}(5xy).
  • O ponto de interesse é (0,0).
    A pergunta clara: calcular \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(e^{\cos(3x+y)}+\operatorname{sec}(5xy)\right).

Passo 2

Primeiro vamos analisar a parte interna das composições: mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)}(3x+y)=0 e \lim_{(x,y)\to(0,0)}5xy=0.
Justificativa simples: se (x,y)\to(0,0) então x\to0 e y\to0. Pela linearidade dos limites,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}(3x+y)=3\cdot\lim_{(x,y)\to(0,0)}x+\lim_{(x,y)\to(0,0)}y=3\cdot 0+0=0,
e pela propriedade do produto dos limites,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}5xy=5\cdot\left(\lim_{(x,y)\to(0,0)}x\right)\left(\lim_{(x,y)\to(0,0)}y\right)=5\cdot0\cdot0=0.

Passo 3

Agora use a continuidade de funções elementares: a função \cos é contínua em todo ponto, logo a composição com a função linear encontrada tem limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\cos(3x+y)=\cos\!\left(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(3x+y)\right)=\cos(0)=1.
Isto é só aplicar: se g(x,y)\to L e f é contínua em L, então f(g(x,y))\to f(L).

Passo 4

A exponencial é contínua em todo ponto, então aplicando continuidade à composição obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} e^{\cos(3x+y)}=e^{\lim_{(x,y)\to(0,0)}\cos(3x+y)}=e^{1}=e.
Aqui usei que a aplicação t\mapsto e^{t} é contínua e pode entrar no limite.

Passo 5

Tratar a parte \operatorname{sec}(5xy)=\dfrac{1}{\cos(5xy)}. Primeiro já vimos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\cos(5xy)=\cos\!\left(\lim_{(x,y)\to(0,0)}5xy\right)=\cos(0)=1.
Como o limite da função \cos(5xy) é 1 (que é diferente de zero), existe uma vizinhança de (0,0) onde \cos(5xy) permanece diferente de zero (por exemplo, para pontos suficientemente próximos a (0,0) vale |\cos(5xy)-1|<\tfrac12, logo \cos(5xy)>\tfrac12). Assim a função t\mapsto 1/\cos t é contínua no t=0, e pode ser composta com 5xy. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\operatorname{sec}(5xy)=\operatorname{sec}\!\left(\lim_{(x,y)\to(0,0)}5xy\right)=\operatorname{sec}(0)=1.

Passo 6

Tendo os limites das duas parcelas (a primeira é e, a segunda é 1) e sabendo que a soma de limites é o limite da soma quando ambos existem, conclui-se que o limite pedido existe e é a soma desses limites.

Resposta

e+1

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