Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
se aproxima de
da função
As informações dadas são:
- A função a ser analisada é
. - O ponto de interesse é
.
A pergunta clara: calcular.
Passo 2
Primeiro vamos analisar a parte interna das composições: mostrar que
e
.
Justificativa simples: se
então
e
. Pela linearidade dos limites,
e pela propriedade do produto dos limites,
Passo 3
Agora use a continuidade de funções elementares: a função
é contínua em todo ponto, logo a composição com a função linear encontrada tem limite
Isto é só aplicar: se
e
é contínua em
, então
.
Passo 4
A exponencial é contínua em todo ponto, então aplicando continuidade à composição obtemos
Aqui usei que a aplicação
é contínua e pode entrar no limite.
Passo 5
Tratar a parte
. Primeiro já vimos que
Como o limite da função
é
(que é diferente de zero), existe uma vizinhança de
onde
permanece diferente de zero (por exemplo, para pontos suficientemente próximos a
vale
, logo
). Assim a função
é contínua no
, e pode ser composta com
. Portanto
Passo 6
Tendo os limites das duas parcelas (a primeira é
, a segunda é
) e sabendo que a soma de limites é o limite da soma quando ambos existem, conclui-se que o limite pedido existe e é a soma desses limites.