Calcule os limites:
\lim _{(x, y, z) \rightarrow(-1,2,0)} \frac{x y z-x+y-z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y,z)\to(-1,2,0)} \frac{x y z - x + y - z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-4}.
Informações dadas:
  • Ponto para o qual (x,y,z) tende: (-1,2,0).
  • A função é a razão entre o numerador x y z - x + y - z e o denominador x^{2}+y^{2}+z^{2}-4.
    A pergunta é: qual o valor desse limite?

Passo 2

Primeiro vamos avaliar cuidadosamente o numerador no ponto (-1,2,0). Substituindo x=-1, y=2 e z=0 em cada termo:
x y z = (-1)\cdot 2 \cdot 0 = 0,
- x = -(-1) = 1,
y = 2,
- z = -0 = 0.
Somando os termos do numerador:
x y z - x + y - z = 0 + 1 + 2 + 0 = 3.

Passo 3

Agora avaliamos o denominador no mesmo ponto. Substituindo x=-1, y=2, z=0:
x^{2} = (-1)^{2} = 1,
y^{2} = 2^{2} = 4,
z^{2} = 0^{2} = 0.
Somando e subtraindo 4:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 = 1 + 4 + 0 - 4 = 1.

Passo 4

Explicando a ideia por trás do passo decisivo (didática breve): polinômios em várias variáveis (como x y z, x^{2}, y^{2} etc.) são funções contínuas. Soma e produto de funções contínuas são contínuos. A razão (quociente) de duas funções contínuas é contínua em pontos onde o denominador é diferente de zero. Portanto, se ao avaliar o denominador no ponto dado obtivemos um valor diferente de zero, podemos simplesmente substituir coordenadas para obter o valor do limite — ou seja, a função é contínua nesse ponto e o limite coincide com o valor da função ali.
No nosso caso, do Passo 3 vimos que o denominador vale \,1\neq 0, logo a função é contínua em (-1,2,0) e podemos usar substituição direta.

Passo 5

Como o numerador no ponto vale 3 (Passo 2) e o denominador vale 1 (Passo 3), o valor da função no ponto é
\frac{3}{1}=3.
Pela continuidade (Passo 4), o limite pedido é exatamente esse valor.

Resposta

3

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