Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- Ponto para o qual
tende: . - A função é a razão entre o numerador
e o denominador .
A pergunta é: qual o valor desse limite?
Passo 2
Primeiro vamos avaliar cuidadosamente o numerador no ponto
. Substituindo
,
e
em cada termo:
Somando os termos do numerador:
Passo 3
Agora avaliamos o denominador no mesmo ponto. Substituindo
,
,
:
Somando e subtraindo 4:
Passo 4
Explicando a ideia por trás do passo decisivo (didática breve): polinômios em várias variáveis (como
,
,
etc.) são funções contínuas. Soma e produto de funções contínuas são contínuos. A razão (quociente) de duas funções contínuas é contínua em pontos onde o denominador é diferente de zero. Portanto, se ao avaliar o denominador no ponto dado obtivemos um valor diferente de zero, podemos simplesmente substituir coordenadas para obter o valor do limite — ou seja, a função é contínua nesse ponto e o limite coincide com o valor da função ali.
No nosso caso, do Passo 3 vimos que o denominador vale
, logo a função é contínua em
e podemos usar substituição direta.
Passo 5
Como o numerador no ponto vale
(Passo 2) e o denominador vale
(Passo 3), o valor da função no ponto é
Pela continuidade (Passo 4), o limite pedido é exatamente esse valor.