Ache as derivadas parciais indicadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as derivadas parciais de segunda ordem, especificamente $ D_{11} f(x, y) $, da função $ f(x, y) = 2x^{2} y - 3x y^{2} + 4x - 2y $. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde aprendemos a encontrar como a função muda em relação a cada uma das variáveis $ x $ e $ y $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como calculá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Uma derivada parcial de uma função com várias variáveis, como $ f(x, y) $, em relação a uma delas, digamos $ x $, mostra como a função muda quando apenas $ x $ varia, mantendo $ y $ constante.
Então, para encontrar $ D_{11} f(x, y) $, que é a segunda derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, precisamos primeiro achar a primeira derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, e depois derivar essa expressão novamente em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos começar encontrando a primeira derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $, que é $ D_1 f(x, y) $. Para isso, tratamos $ y $ como uma constante e derivamos cada termo da função em relação a $ x $:
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ 2x^{2} y $ em relação a $ x $ é $ 4x y $ (usando a regra do poder: $ d/dx , x^{n} = n x^{n-1} $).
- A derivada de $ -3x y^{2} $ em relação a $ x $ é $ -3 y^{2} $ (já que $ y^{2} $ é constante).
- A derivada de $ 4x $ em relação a $ x $ é $ 4 $.
- A derivada de $ -2y $ em relação a $ x $ é $ 0 $ (porque $ y $ é constante e não depende de $ x $).
Somando todas as derivadas:
Passo 4
Agora que temos a primeira derivada parcial $ D_1 f(x, y) = 4x y - 3 y^{2} + 4 $, vamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a $ x $, que é $ D_{11} f(x, y) $. Isso significa que vamos derivar novamente a expressão $ D_1 f(x, y) $ em relação a $ x $.
Derivando termo a termo:
- A derivada de $ 4x y $ em relação a $ x $ é $ 4 y $ (porque $ y $ é constante).
- A derivada de $ -3 y^{2} $ em relação a $ x $ é $ 0 $ (já que não há $ x $ na expressão).
- A derivada de $ 4 $ em relação a $ x $ é $ 0 $ (porque é uma constante).
Somando todas as derivadas:
Resposta
A derivada parcial de segunda ordem $ D_{11} f(x, y) $ é igual a $ 4y $.