Resolva a equação da onda sujeita às condições indicadas:
u(0, t)=0 u(pi, t)=0 u(x, 0)=0 ut(x, 0)=sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda utt=uxx em 00 com condições de contorno u(0,t)=0, u(pi,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=0, ut(x,0)=sin(x). Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier.

Passo 2

Para começar, assumimos uma solução no formato de série de modos normais:
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(nt)+Bnsin(nt)r)sin(nx)
Aqui cada modo sin(nx) satisfaz as condições de contorno homogêneas.

Passo 3

Impondo a condição inicial de deslocamento u(x,0)=0, temos
u(x,0)=sumn=1^inftyAnsin(nx)=0
Como os sin(nx) são ortogonais, segue An=0 para todo n.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial de velocidade ut(x,0)=sin(x). Calculando a derivada em t:
ut(x,t)=sumn=1^inftyl(-nAnsin(nt)+nBncos(nt)r)sin(nx)
Em t=0 e sabendo An=0, fica
ut(x,0)=sumn=1^inftynBnsin(nx)=sin(x)

Passo 5

Para igualar sumnnBnsin(nx)=sin(x) usamos ortogonalidade de sin(nx). O único coeficiente não nulo é n=1, dando 1cdot B1=1 e Bn=0 para nneq1.

Passo 6

Reunindo tudo, a solução fica apenas com o modo n=1:
u(x,t)=B1sin(t)sin(x)=sin(x)sin(t)

Resposta

u(x,t)=\sin(x),\sin(t)

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