Resolva a equação da onda sujeita às condições indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda
em
com condições de contorno
,
e condições iniciais
,
. Vamos usar separação de variáveis e expansão em série de Fourier.
Passo 2
Para começar, assumimos uma solução no formato de série de modos normais:
Aqui cada modo
Passo 3
Impondo a condição inicial de deslocamento
, temos
Como os
Passo 4
Agora usamos a condição inicial de velocidade
. Calculando a derivada em
:
Em
Passo 5
Para igualar
usamos ortogonalidade de
. O único coeficiente não nulo é
, dando
e
para
.
Passo 6
Reunindo tudo, a solução fica apenas com o modo
:
Resposta
u(x,t)=\sin(x),\sin(t)