Ache as derivadas parciais indicadas:
D22 f(x, y) ;
f(x, y)=2 x^2 y-3 x y^2+4 x-2 y

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais. O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, especificamente $ D_{22} f(x, y) $, da função $ f(x, y) = 2x^{2}y - 3xy^{2} + 4x - 2y $. Para isso, precisamos entender o que são derivadas parciais e como calculá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é uma derivada parcial. Em funções de múltiplas variáveis, como $ f(x, y) $, a derivada parcial em relação a uma variável mede a taxa de variação da função em relação a essa variável, mantendo a outra constante. Neste caso, $ D_{22} f(x, y) $ significa que vamos derivar a função duas vezes em relação a $ y $.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ y $, que é denotada por $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
A função dada é:
f(x, y)
Derivando termo a termo em relação a $ y $:
  • A derivada de $ 2x^{2}y $ em relação a $ y $ é $ 2x^{2} $.
  • A derivada de $ -3xy^{2} $ em relação a $ y $ é $ -6xy $ (usando a regra do poder: $ \frac{d}{dy}(y^{2}) = 2y $).
  • A derivada de $ 4x $ em relação a $ y $ é 0, pois $ 4x $ não depende de $ y $.
  • A derivada de $ -2y $ em relação a $ y $ é $ -2 $.
Então, a primeira derivada parcial é:
y

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a segunda derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ D_{22} f(x, y) = \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} $. Isso significa que vamos derivar novamente $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em relação a $ y $.
Derivando $ \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^{2} - 6xy - 2 $ em relação a $ y $:
  • A derivada de $ 2x^{2} $ em relação a $ y $ é 0, pois $ 2x^{2} $ não depende de $ y $.
  • A derivada de $ -6xy $ em relação a $ y $ é $ -6x $, pois $ x $ é tratado como uma constante.
  • A derivada de $ -2 $ em relação a $ y $ é 0, pois é uma constante.
Portanto, a segunda derivada parcial é:
y

Resposta

A derivada parcial de segunda ordem $ D_{22} f(x, y) $ é:
D22 f(x, y)

Exercícios relacionados