Ache as derivadas parciais primeiras de f :
\begin{gathered}f(r, s, t)=r^{2} e^{2 s} \cos t \\\ \operatorname{Resp}: f_{r}(r, s, t)=2 r e^{2 s} \cos t ; f_{s}(r, s, t)=2 r^{2} e^{2 s} \cos t ; f_{t}(r, s, t)=-r^{2} e^{2 s} \sin t\end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeiras da função
f(r,s,t)=r^{2}e^{2s}\cos t
em relação às variáveis r, s e t. Vamos usar a regra do produto e as derivadas elementares:
  • \frac{d}{dr}(r^{2})=2r.
  • \frac{d}{ds}(e^{2s})=2e^{2s}.
  • \frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.

Passo 2

Para calcular \displaystyle f_{r}(r,s,t), tratamos s e t como constantes e derivamos em relação a r. Temos
f(r,s,t)=\bigl(r^{2}\bigr)\cdot\bigl(e^{2s}\cos t\bigr),
onde e^{2s}\cos t é constante frente a r. Logo,
f_{r}(r,s,t) =\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}\bigr)\cdot e^{2s}\cos t =2r\,e^{2s}\cos t.

Passo 3

Para calcular \displaystyle f_{s}(r,s,t), tratamos r e t como constantes e derivamos em relação a s. Escrevendo
f(r,s,t)=\bigl(e^{2s}\bigr)\cdot\bigl(r^{2}\cos t\bigr),
onde r^{2}\cos t é constante frente a s, obtemos
f_{s}(r,s,t) =r^{2}\cos t\;\frac{d}{ds}\bigl(e^{2s}\bigr) =r^{2}\cos t\cdot2e^{2s} =2r^{2}e^{2s}\cos t.

Passo 4

Para calcular \displaystyle f_{t}(r,s,t), tratamos r e s como constantes e derivamos em relação a t. Escrevendo
f(r,s,t)=\bigl(\cos t\bigr)\cdot\bigl(r^{2}e^{2s}\bigr),
onde r^{2}e^{2s} é constante frente a t, temos
f_{t}(r,s,t) =r^{2}e^{2s}\;\frac{d}{dt}(\cos t) =r^{2}e^{2s}\cdot(-\sin t) =-r^{2}e^{2s}\sin t.

Resposta

f_{r}(r,s,t)=2r\,e^{2s}\cos t
f_{s}(r,s,t)=2r^{2}e^{2s}\cos t
f_{t}(r,s,t)=-r^{2}e^{2s}\sin t

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