Ache as derivadas parciais primeiras de f :
\begin{array}{r}f(x, y, z)=3 x^{2} z+x y^{2} \\\ \operatorname{Resp}: f_{x}(x, y, z)=6 x z+y^{2} ; f_{y}(x, y, z)=2 x y ; f_{z}(x, y, z)=3 x^{2}\end{array}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=3x^{2}z + x y^{2}
e pede as derivadas parciais primeiras f_{x}, f_{y} e f_{z}. Vamos usar a definição de derivada parcial, isto é, derivar em relação a uma variável mantendo as outras constantes.

Passo 2

Para achar f_{x}(x,y,z), tratamos y e z como constantes.
Derivada de 3x^{2}z em relação a x é 6xz (regra do potência vezes constante), e de x y^{2} é y^{2}.
f_{x}(x,y,z)=6x z + y^{2}.

Passo 3

Para achar f_{y}(x,y,z), tratamos x e z como constantes.
O termo 3x^{2}z não depende de y, logo sua derivada é zero.
A derivada de x y^{2} em relação a y é x \cdot 2y = 2xy.
f_{y}(x,y,z)=2x y.

Passo 4

Para achar f_{z}(x,y,z), tratamos x e y como constantes.
O termo x y^{2} não depende de z, então sua derivada é zero.
A derivada de 3x^{2}z em relação a z é 3x^{2}.
f_{z}(x,y,z)=3x^{2}.

Resposta

f_{x}(x,y,z)=6x z + y^{2} f_{y}(x,y,z)=2x y f_{z}(x,y,z)=3x^{2}

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