Ache as derivadas parciais primeiras de f.
f(r, s, t)=r^{2} e^{2 t} \cos t

Passo 1

O enunciado pede que se calculem as derivadas parciais primeiras da função
f(r,s,t)=r^{2}e^{2t}\cos t.
As perguntas concretas são:
  • Calcular \frac{\partial f}{\partial r}.
  • Calcular \frac{\partial f}{\partial s}.
  • Calcular \frac{\partial f}{\partial t}.
Informações dadas:
  • A função está explicitamente dada por f(r,s,t)=r^{2}e^{2t}\cos t.
  • Observe que a variável s não aparece na expressão de f.

Passo 2

O que é uma derivada parcial (rápido e tranquilo): a derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo r) mede como f muda quando só r varia e as outras variáveis ( s,t) ficam fixas. Na prática, ao derivar em relação a uma variável, trata-se as demais como constantes. Não tem mistério—é a mesma ideia da derivada normal, só que “congelando” as outras variáveis.
Regras que vamos usar:
  • Derivada de uma potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Produto: \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia para exponencial: \dfrac{d}{dt}e^{a t}=a e^{a t}.
  • Derivada de seno e cosseno: \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial r}.
Aqui tratamos t e s como constantes. A função é produto de r^{2} por um fator que não depende de r, que é e^{2t}\cos t. Então aplicamos a derivada da potência em r^{2} e multiplicamos pelo fator constante:
\frac{\partial f}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2}\bigr)\cdot e^{2t}\cos t = 2r\cdot e^{2t}\cos t.

Passo 4

Calcular \frac{\partial f}{\partial s}.
Como a expressão de f não contém s (ou seja, f não depende de s), a variação de f quando s muda é nula. Portanto,
\frac{\partial f}{\partial s}=0.

Passo 5

Calcular \frac{\partial f}{\partial t} — plano de ataque.
Agora r e s são tratadas como constantes; note que r^{2} é um fator constante multiplicando a função de t
g(t)=e^{2t}\cos t.
Então vamos derivar g(t) usando a regra do produto: se g(t)=u(t)v(t) então g'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t). Aqui u(t)=e^{2t} e v(t)=\cos t. Também precisaremos da regra da cadeia para u'(t).

Passo 6

Aplicando a regra do produto e da cadeia passo a passo.
Definir:
u(t)=e^{2t},\qquad v(t)=\cos t.
Derivadas:
u'(t)=\frac{d}{dt}e^{2t}=2e^{2t}\quad\text{(regra da cadeia)},
v'(t)=\frac{d}{dt}\cos t=-\sin t.
Agora a regra do produto dá
g'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=2e^{2t}\cos t + e^{2t}(-\sin t).
Fatorando e^{2t},
g'(t)=e^{2t}\bigl(2\cos t - \sin t\bigr).
Voltando ao f, multiplicamos pelo fator constante r^{2}:
\frac{\partial f}{\partial t}=r^{2}\,g'(t)=r^{2}e^{2t}\bigl(2\cos t - \sin t\bigr).

Passo 7

Uma mini-exemplificação para fixar a ideia (curto e prático).
Se tivéssemos h(r,t)=r^{3}e^{2t}\sin t, então
  • \dfrac{\partial h}{\partial r}=3r^{2}e^{2t}\sin t (derivar r^{3} e manter o resto).
  • \dfrac{\partial h}{\partial t}=r^{3}\dfrac{d}{dt}\bigl(e^{2t}\sin t\bigr)=r^{3}e^{2t}\bigl(2\sin t+\cos t\bigr) (mesma aplicação de produto+cadeia).
Força aí — a técnica é sempre a mesma: trate as outras variáveis como constantes, use produto e cadeia quando necessário, e simplifique.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial r}=2r\,e^{2t}\cos t
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial s}=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}=r^{2}e^{2t}\bigl(2\cos t-\sin t\bigr)

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