Ache as derivadas parciais primeiras de
.
Passo 1
O enunciado pede que se calculem as derivadas parciais primeiras da função
As perguntas concretas são:
- Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
Informações dadas:
- A função está explicitamente dada por
. - Observe que a variável
não aparece na expressão de .
Passo 2
O que é uma derivada parcial (rápido e tranquilo): a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo
) mede como
muda quando só
varia e as outras variáveis (
) ficam fixas. Na prática, ao derivar em relação a uma variável, trata-se as demais como constantes. Não tem mistério—é a mesma ideia da derivada normal, só que “congelando” as outras variáveis.
Regras que vamos usar:
- Derivada de uma potência:
. - Produto:
. - Regra da cadeia para exponencial:
. - Derivada de seno e cosseno:
e .
Passo 3
Calcular
.
Aqui tratamos
e
como constantes. A função é produto de
por um fator que não depende de
, que é
. Então aplicamos a derivada da potência em
e multiplicamos pelo fator constante:
Passo 4
Calcular
.
Como a expressão de
não contém
(ou seja,
não depende de
), a variação de
quando
muda é nula. Portanto,
Passo 5
Calcular
— plano de ataque.
Agora
e
são tratadas como constantes; note que
é um fator constante multiplicando a função de
Então vamos derivar
usando a regra do produto: se
então
. Aqui
e
. Também precisaremos da regra da cadeia para
.
Passo 6
Aplicando a regra do produto e da cadeia passo a passo.
Definir:
Derivadas:
Agora a regra do produto dá
Fatorando
,
Voltando ao
, multiplicamos pelo fator constante
:
Passo 7
Uma mini-exemplificação para fixar a ideia (curto e prático).
Se tivéssemos
, então
-
(derivar e manter o resto). -
(mesma aplicação de produto+cadeia).
Força aí — a técnica é sempre a mesma: trate as outras variáveis como constantes, use produto e cadeia quando necessário, e simplifique.