Determine as derivadas parciais das funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de
em relação a
e em relação a
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A função é um quociente de duas funções de
e . - O ponto
está excluído do domínio, então as derivadas serão calculadas apenas para com .
As perguntas são, claramente: - Calcular
para . - Calcular
para .
Passo 2
Conceito e regra que vamos usar (explicadinho): a derivada parcial de
em relação a
é a derivada onde tratamos
como constante; análogamente para a derivada parcial em relação a
. Quando
é um quociente
valem as mesmas regras de derivação do cálculo univariado (a regra do quociente), mas aplicadas mantendo a variável que não está sendo diferenciada como constante. A fórmula é
onde:
-
significa (derivada parcial de em relação a ), -
significa , -
é .
Mesma coisa para derivar em relação a
:
Passo 3
Identificar
e
e calcular as derivadas parciais simples:
Calcular as derivadas parciais necessárias:
porque
é constante ao derivar em relação a
.
Agora as derivadas em relação a
:
pois
é constante ao derivar em relação a
.
Passo 4
Calcular
usando a regra do quociente. Substituindo na fórmula
Agora expandir e simplificar o numerador passo a passo:
Subtraindo:
Portanto
Passo 5
Apresentar
em formas alternativas úteis (mesma expressão, só reescrita):
Forma já obtida:
Forma já obtida:
Também se pode escrever fatorando
em parte do numerador:
Ambas são equivalentes; use a que achar mais clara na prova.
Passo 6
Calcular
pela mesma ideia (regra do quociente), substituindo as derivadas já calculadas:
No numerador, fatorar
:
Fatorando
também:
Portanto
Passo 7
Checagem rápida com pontos simples para ganhar confiança (só para ver que os resultados fazem sentido):
- Se
e , então , logo e . Substituindo nas fórmulas:
confere.
- Se
e , então , função constante em e no pequeno deslocamento em , e as fórmulas dão derivadas compatíveis (ambas 0 quando ), o que também confere.