Determine as derivadas parciais das funções:
q(x, y)=\frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0).

Passo 1

O enunciado dá a função
q(x,y)=\frac{x^{3}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, \qquad (x,y)\neq(0,0),
e pede as derivadas parciais de q em relação a x e em relação a y.
Informações relevantes que temos:
  • A função é um quociente de duas funções de x e y.
  • O ponto (0,0) está excluído do domínio, então as derivadas serão calculadas apenas para (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0.
    As perguntas são, claramente:
  • Calcular \dfrac{\partial q}{\partial x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
  • Calcular \dfrac{\partial q}{\partial y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0).

Passo 2

Conceito e regra que vamos usar (explicadinho): a derivada parcial de q em relação a x é a derivada onde tratamos y como constante; análogamente para a derivada parcial em relação a y. Quando q é um quociente
q(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)},
valem as mesmas regras de derivação do cálculo univariado (a regra do quociente), mas aplicadas mantendo a variável que não está sendo diferenciada como constante. A fórmula é
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}},
onde:
  • u_x significa \dfrac{\partial u}{\partial x} (derivada parcial de u em relação a x),
  • v_x significa \dfrac{\partial v}{\partial x},
  • v^{2} é (v(x,y))^{2}.
Mesma coisa para derivar em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^{2}}.

Passo 3

Identificar u e v e calcular as derivadas parciais simples:
u(x,y)=x^{3}+y^{2},\qquad v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Calcular as derivadas parciais necessárias:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y^{2})=3x^{2},
porque y^{2} é constante ao derivar em relação a x.
v_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x.
Agora as derivadas em relação a y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{3}+y^{2})=2y,
pois x^{3} é constante ao derivar em relação a y.
v_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial q}{\partial x} usando a regra do quociente. Substituindo na fórmula
\frac{\partial q}{\partial x} = \frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^{2}} = \frac{3x^{2}(x^{2}+y^{2}) - (x^{3}+y^{2})\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora expandir e simplificar o numerador passo a passo:
3x^{2}(x^{2}+y^{2}) = 3x^{4}+3x^{2}y^{2},
(x^{3}+y^{2})\cdot 2x = 2x^{4}+2x y^{2}.
Subtraindo:
3x^{4}+3x^{2}y^{2} - (2x^{4}+2x y^{2}) = (3x^{4}-2x^{4}) + (3x^{2}y^{2}-2x y^{2}) = x^{4} + y^{2}(3x^{2}-2x).
Portanto
\frac{\partial q}{\partial x}(x,y) = \frac{x^{4} + 3x^{2}y^{2} - 2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Apresentar \dfrac{\partial q}{\partial x} em formas alternativas úteis (mesma expressão, só reescrita):
Forma já obtida:
\frac{\partial q}{\partial x}(x,y) = \frac{x^{4} + 3x^{2}y^{2} - 2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Também se pode escrever fatorando y^{2} em parte do numerador:
\frac{\partial q}{\partial x}(x,y) = \frac{x^{4} + y^{2}(3x^{2}-2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Ambas são equivalentes; use a que achar mais clara na prova.

Passo 6

Calcular \dfrac{\partial q}{\partial y} pela mesma ideia (regra do quociente), substituindo as derivadas já calculadas:
\frac{\partial q}{\partial y} = \frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^{2}} = \frac{2y(x^{2}+y^{2}) - (x^{3}+y^{2})\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
No numerador, fatorar 2y:
2y\bigl((x^{2}+y^{2}) - (x^{3}+y^{2})\bigr) = 2y\bigl(x^{2}+y^{2}-x^{3}-y^{2}\bigr) = 2y(x^{2}-x^{3}).
Fatorando x^{2} também:
2y(x^{2}-x^{3}) = 2x^{2}y(1-x).
Portanto
\frac{\partial q}{\partial y}(x,y) = \frac{2x^{2}y(1-x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 7

Checagem rápida com pontos simples para ganhar confiança (só para ver que os resultados fazem sentido):
  • Se y=0 e x\neq0, então q(x,0)=x, logo \partial q/\partial x = 1 e \partial q/\partial y = 0. Substituindo y=0 nas fórmulas:
\frac{\partial q}{\partial x}=\frac{x^{4}}{(x^{2})^{2}}=1,\qquad \frac{\partial q}{\partial y}=0,
confere.
  • Se x=0 e y\neq0, então q(0,y)=1, função constante em x e y no pequeno deslocamento em x, e as fórmulas dão derivadas compatíveis (ambas 0 quando x=0), o que também confere.

Resposta

\frac{\partial q}{\partial x}(x,y)=\frac{x^{4} + 3x^{2}y^{2} - 2x y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
\frac{\partial q}{\partial y}(x,y)=\frac{2x^{2}y(1-x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}

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