Ache as derivadas parciais primeiras de f.
f(x, y)=x c^{y}+y \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeiras de f em relação a x e a y. A função dada é
f(x,y)=x\,c^{y}+y\,\operatorname{sen} x.
Informações relevantes que vou usar (assumindo que a questão está bem formulada):
  • As variáveis independentes são x e y.
  • c é uma constante (assumir c>0 para que c^{y} esteja bem definida e para poder usar \ln c sem problemas).
  • A função trigonométrica está escrita em notação portuguesa como \operatorname{sen}x, que em TeX uso como \sin x.
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

Lembrete didático: definição e ideia de derivada parcial.
  • A derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x,y) mede a variação de f quando só x varia e y fica fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h},
ou seja, varia-se apenas y deixando x fixo.
Regras práticas que vou usar:
  • Se um termo é produto de uma função de x por uma constante (ou por algo que depende só de y), ao derivar em relação a x trata-se o fator dependente de y como constante.
  • A derivada de \sin x em relação a x é \cos x.
  • A derivada de c^{y} em relação a y é c^{y}\ln c (para c>0).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}, passo a passo.
  • Escrevo f(x,y)=x\,c^{y}+y\,\sin x.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x} trato y e c^{y} como constantes.
  • Derivando o primeiro termo x\,c^{y} em relação a x: como c^{y} é constante, a derivada é c^{y}\cdot\frac{d}{dx}(x)=c^{y}.
  • Derivando o segundo termo y\,\sin x em relação a x: aqui y é constante e \frac{d}{dx}\sin x=\cos x, então a derivada é y\cos x.
  • Somando as partes:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=c^{y}+y\cos x.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}, passo a passo.
  • Agora, ao derivar em relação a y, trato x como constante.
  • Primeiro termo: x\,c^{y}. Aqui x é constante multiplicando c^{y}. A derivada de c^{y} em relação a y é c^{y}\ln c. Portanto a derivada do produto é x\cdot c^{y}\ln c.
  • Segundo termo: y\,\sin x. Agora \sin x é constante (pois depende só de x), e a derivada de y em relação a y é 1. Logo a derivada é \sin x.
  • Somando as partes:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\,c^{y}\ln c+\sin x.

Passo 5

Comentário sobre domínio e disciplina para a prova:
  • Usei a regra básica: ao derivar parcial em x, mantenha y fixo; ao derivar parcial em y, mantenha x fixo.
  • A fórmula \dfrac{d}{dy}c^{y}=c^{y}\ln c é um resultado padrão de exponenciais com base constante c>0. Se em prova aparecer base negativa ou c=0, cuidado: o contexto muda (geralmente assume-se c>0).
  • Para treinar rápido: pegue g(x,y)=3x\,2^{y}+y\sin x. Pelas mesmas regras teria \partial g/\partial x=3\cdot2^{y}+y\cos x e \partial g/\partial y=3x\,2^{y}\ln 2+\sin x. Isso ajuda a fixar o padrão.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=c^{y}+y\cos x
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x\,c^{y}\ln c+\sin x

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