Ache as derivadas parciais primeiras de
.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais primeiras de
em relação a
e a
. A função dada é
Informações relevantes que vou usar (assumindo que a questão está bem formulada):
- As variáveis independentes são
e . -
é uma constante (assumir para que esteja bem definida e para poder usar sem problemas). - A função trigonométrica está escrita em notação portuguesa como
, que em TeX uso como .
O que se pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Lembrete didático: definição e ideia de derivada parcial.
- A derivada parcial de
em relação a em um ponto mede a variação de quando só varia e fica fixo. Formalmente,
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
ou seja, varia-se apenas
deixando
fixo.
Regras práticas que vou usar:
- Se um termo é produto de uma função de
por uma constante (ou por algo que depende só de ), ao derivar em relação a trata-se o fator dependente de como constante. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (para ).
Passo 3
Calcular
, passo a passo.
- Escrevo
. - Para
trato e como constantes. - Derivando o primeiro termo
em relação a : como é constante, a derivada é . - Derivando o segundo termo
em relação a : aqui é constante e , então a derivada é . - Somando as partes:
Passo 4
Calcular
, passo a passo.
- Agora, ao derivar em relação a
, trato como constante. - Primeiro termo:
. Aqui é constante multiplicando . A derivada de em relação a é . Portanto a derivada do produto é . - Segundo termo:
. Agora é constante (pois depende só de ), e a derivada de em relação a é . Logo a derivada é . - Somando as partes:
Passo 5
Comentário sobre domínio e disciplina para a prova:
- Usei a regra básica: ao derivar parcial em
, mantenha fixo; ao derivar parcial em , mantenha fixo. - A fórmula
é um resultado padrão de exponenciais com base constante . Se em prova aparecer base negativa ou , cuidado: o contexto muda (geralmente assume-se ). - Para treinar rápido: pegue
. Pelas mesmas regras teria e . Isso ajuda a fixar o padrão.