Ache as derivadas parciais primeiras de
:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais primeiras da função dada. A função fornecida é
As perguntas são:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
O que é derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
mede como
varia quando só alteramos
, mantendo
fixo. Formalmente,
A derivada parcial de
De modo análogo, a derivada parcial em relação a
é
ou seja, varia-se apenas
mantendo
fixo.
Regras úteis para usar aqui (lembrando que, em derivadas parciais, a variável que não está sendo diferenciada é tratada como constante):
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é ; em relação a é (quando é considerado constante). - Se uma expressão é produto de uma função dependente de
por outra dependente só de , ao derivar em relação a a parte em é constante (e vice-versa).
Passo 3
Calcular
:
Partimos da expressão .
Partimos da expressão
- Para o termo
: ao derivar em relação a , é constante (pois depende só de ), então a derivada é . - Para o termo
: é constante (pois depende só de ), então a derivada é .
Somando os dois resultados, obtemos
Passo 4
Calcular
:
Partimos da mesma expressão .
Partimos da mesma expressão
- Para o termo
: agora é constante e depende de , então a derivada é . - Para o termo
: é constante (pois depende só de ), então a derivada é .
Somando os dois resultados, obtemos
Passo 5
Dica rápida para a prova: identifique em cada termo quais fatores dependem da variável que está sendo diferenciada e quais são constantes; aplique as regras usuais (derivada de
é
, de
é
, de
é ele mesmo) tratando as demais quantidades como constantes. Respire fundo — com prática isso vira automático!