Ache as derivadas parciais primeiras de f :
f(x, y)=x e^{y}+y \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais primeiras da função dada. A função fornecida é
f(x,y)=x e^{y}+y\sin(x).
As perguntas são:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial?
A derivada parcial de f em relação a x mede como f varia quando só alteramos x, mantendo y fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
De modo análogo, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h},
ou seja, varia-se apenas y mantendo x fixo.
Regras úteis para usar aqui (lembrando que, em derivadas parciais, a variável que não está sendo diferenciada é tratada como constante):
  • A derivada de \sin(x) em relação a x é \cos(x).
  • A derivada de e^{y} em relação a y é e^{y}; em relação a x é 0 (quando y é considerado constante).
  • Se uma expressão é produto de uma função dependente de x por outra dependente só de y, ao derivar em relação a x a parte em y é constante (e vice-versa).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y):
Partimos da expressão \,f(x,y)=x e^{y}+y\sin(x).
  • Para o termo x e^{y}: ao derivar em relação a x, e^{y} é constante (pois depende só de y), então a derivada é e^{y}\cdot \dfrac{d}{dx}(x)=e^{y}.
  • Para o termo y\sin(x): y é constante (pois depende só de y), então a derivada é y\cdot \dfrac{d}{dx}(\sin(x))=y\cos(x).
Somando os dois resultados, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{y}+y\cos(x).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y):
Partimos da mesma expressão \,f(x,y)=x e^{y}+y\sin(x).
  • Para o termo x e^{y}: agora x é constante e e^{y} depende de y, então a derivada é x\cdot \dfrac{d}{dy}(e^{y})=x e^{y}.
  • Para o termo y\sin(x): \sin(x) é constante (pois depende só de x), então a derivada é \sin(x)\cdot \dfrac{d}{dy}(y)=\sin(x).
Somando os dois resultados, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x e^{y}+\sin(x).

Passo 5

Dica rápida para a prova: identifique em cada termo quais fatores dependem da variável que está sendo diferenciada e quais são constantes; aplique as regras usuais (derivada de x é 1, de \sin é \cos, de e^{(\cdot)} é ele mesmo) tratando as demais quantidades como constantes. Respire fundo — com prática isso vira automático!

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{y}+y\cos(x)
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x e^{y}+\sin(x)

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