Exercício 2 - Para as equações autônomas dadas
Esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação autônoma
com a função
O que se pede:
- Esboçar o gráfico de
em função de . - Determinar os pontos de equilíbrio (valores de
em que ). - Classificar cada ponto de equilíbrio como estável ou instável, com justificativa.
Informações relevantes dadas:
- A função
está escrita como produto de dois fatores: e . - Não há outros dados numéricos além da expressão de
.
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio: são as soluções de
Como
é produto, resolvemos cada fator igual a zero.
Primeiro fator:
Segundo fator:
Portanto os pontos de equilíbrio são
e
.
Passo 3
Entender o sinal dos fatores para construir o gráfico e a linha de fase.
Comportamento de
:
- Para
: , então . - Para
: . - Para
: , então .
Comportamento de
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Passo 4
Determinar o sinal de
em cada intervalo separado pelas raízes
e
.
- Para
: temos e . Produto de dois negativos é positivo. Assim para . - Para
: temos e . Produto negativo por positivo dá para . - Para
: temos e . Produto positivo por positivo dá para .
Interpretação dinâmica (linha de fases): onde
as soluções aumentam (seta para a direita), onde
as soluções diminuem (seta para a esquerda).
- Em
: setas apontam para a direita (fluxo para valores maiores). - Em
: setas apontam para a esquerda (fluxo para valores menores). - Em
: setas apontam para a direita.
Passo 5
Classificação qualitativa das equilibria pela linha de fase (interpretação geométrica):
- Em
: à esquerda de o fluxo vai para a direita e à direita de o fluxo vai para a esquerda; ambos os lados dirigem o estado para . Isso significa que atrai soluções próximas, logo é um ponto de equilíbrio estável (atrator). - Em
: à esquerda de o fluxo vai para a esquerda e à direita de o fluxo vai para a direita; ambos os lados afastam-se de . Isso significa que repele soluções próximas, logo é um ponto de equilíbrio instável (repulsor).
Passo 6
Confirmação via linearização (derivada de
em cada equilíbrio), explicando a ideia: se
a linearização
(com
pequeno) gera decaimento exponencial e o equilíbrio é linearmente estável; se
fica instável.
Calcular
:
Avaliar em
:
portanto
é instável (confirmado).
Avaliar em
:
Como
, tem-se
. Assim
e
é estável (confirmado).
Passo 7
Descrição final do esboço de
e comportamento assintótico (para ajudar no desenho):
- Zeros em
e . -
para , para , para . - Para
: , então e como tem . - Para
: domina e . - No esboço, a curva cruza o eixo
em decrescendo (pois troca de positivo para negativo) e em crescendo (troca de negativo para positivo). Os declives nas raízes são dados por e .