Exercício 2 - Para as equações autônomas dadas
\frac{d y}{d t}=f(y)
Esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Justifique.
\frac{d y}{d t}=\left(e^{y}-1\right)(y+4)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação autônoma
\frac{dy}{dt}=f(y)
com a função
f(y)=(e^{y}-1)(y+4).
O que se pede:
  • Esboçar o gráfico de f(y) em função de y.
  • Determinar os pontos de equilíbrio (valores de y em que \dfrac{dy}{dt}=0).
  • Classificar cada ponto de equilíbrio como estável ou instável, com justificativa.
Informações relevantes dadas:
  • A função f(y) está escrita como produto de dois fatores: e^{y}-1 e y+4.
  • Não há outros dados numéricos além da expressão de f(y).

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio: são as soluções de
f(y)=0.
Como f(y) é produto, resolvemos cada fator igual a zero.
Primeiro fator:
e^{y}-1=0 \quad\Rightarrow\quad e^{y}=1 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Segundo fator:
y+4=0 \quad\Rightarrow\quad y=-4.
Portanto os pontos de equilíbrio são y=-4 e y=0.

Passo 3

Entender o sinal dos fatores para construir o gráfico e a linha de fase.
Comportamento de e^{y}-1:
  • Para y<0: e^{y}<1, então e^{y}-1<0.
  • Para y=0: e^{y}-1=0.
  • Para y>0: e^{y}>1, então e^{y}-1>0.
Comportamento de y+4:
  • Para y<-4: y+4<0.
  • Para y=-4: y+4=0.
  • Para y>-4: y+4>0.

Passo 4

Determinar o sinal de f(y)=(e^{y}-1)(y+4) em cada intervalo separado pelas raízes y=-4 e y=0.
  • Para y<-4: temos e^{y}-1<0 e y+4<0. Produto de dois negativos é positivo. Assim f(y)>0 para y<-4.
  • Para -4<y<0: temos e^{y}-1<0 e y+4>0. Produto negativo por positivo dá f(y)<0 para -4<y<0.
  • Para y>0: temos e^{y}-1>0 e y+4>0. Produto positivo por positivo dá f(y)>0 para y>0.
Interpretação dinâmica (linha de fases): onde f(y)>0 as soluções aumentam (seta para a direita), onde f(y)<0 as soluções diminuem (seta para a esquerda).
  • Em y<-4: setas apontam para a direita (fluxo para valores maiores).
  • Em -4<y<0: setas apontam para a esquerda (fluxo para valores menores).
  • Em y>0: setas apontam para a direita.

Passo 5

Classificação qualitativa das equilibria pela linha de fase (interpretação geométrica):
  • Em y=-4: à esquerda de -4 o fluxo vai para a direita e à direita de -4 o fluxo vai para a esquerda; ambos os lados dirigem o estado para y=-4. Isso significa que y=-4 atrai soluções próximas, logo é um ponto de equilíbrio estável (atrator).
  • Em y=0: à esquerda de 0 o fluxo vai para a esquerda e à direita de 0 o fluxo vai para a direita; ambos os lados afastam-se de y=0. Isso significa que y=0 repele soluções próximas, logo é um ponto de equilíbrio instável (repulsor).

Passo 6

Confirmação via linearização (derivada de f em cada equilíbrio), explicando a ideia: se f'(y^*)<0 a linearização \dfrac{d\eta}{dt}=f'(y^*)\eta (com \eta=y-y^* pequeno) gera decaimento exponencial e o equilíbrio é linearmente estável; se f'(y^*)>0 fica instável.
Calcular f'(y):
f'(y)=\frac{d}{dy}\bigl((e^{y}-1)(y+4)\bigr) = e^{y}(y+4)+(e^{y}-1)\cdot 1 = e^{y}(y+5)-1.
Avaliar em y=0:
f'(0)=e^{0}(0+5)-1=5-1=4>0,
portanto y=0 é instável (confirmado).
Avaliar em y=-4:
f'(-4)=e^{-4}(-4+5)-1=e^{-4}-1.
Como e^{-4}\approx 0{,}0183, tem-se e^{-4}-1\approx -0{,}9817<0. Assim f'(-4)<0 e y=-4 é estável (confirmado).

Passo 7

Descrição final do esboço de f(y) e comportamento assintótico (para ajudar no desenho):
  • Zeros em y=-4 e y=0.
  • f(y)>0 para y<-4, f(y)<0 para -4<y<0, f(y)>0 para y>0.
  • Para y\to-\infty: e^{y}\to 0, então f(y)\approx -(y+4) e como y+4\to -\infty tem f(y)\to +\infty.
  • Para y\to+\infty: e^{y} domina e f(y)\sim e^{y}(y+4)\to +\infty.
  • No esboço, a curva cruza o eixo y em -4 decrescendo (pois troca de positivo para negativo) e em 0 crescendo (troca de negativo para positivo). Os declives nas raízes são dados por f'(-4)<0 e f'(0)=4>0.

Resposta

y=-4 é um ponto de equilíbrio estável (atrator).
y=0 é um ponto de equilíbrio instável (repulsor).

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