Exercício 1 - Usando analise qualitativa, esboce algumas das soluções das seguintes equações diferenciais \frac{d y}{d t}=y+y^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem autônoma
\frac{dy}{dt}=y+y^{2}.
O que se pede: usando análise qualitativa, esboçar algumas soluções — ou seja, descrever o comportamento das soluções no eixo y (linha de fase) e como as curvas y(t) se comportam para diferentes condições iniciais y(0)=y_0.
Informações relevantes dadas:
A equação é autônoma (o lado direito depende só de y, não de t).
A função do lado direito é f(y)=y+y^{2}=y(1+y).
Precisamos analisar equilibria, sinal de f(y) em intervalos, estabilidade e comportamento de soluções (monotonia, limites, possíveis explosões em tempo finito).
Passo 2
Encontrar pontos de equilíbrio (pontos críticos): são os y tais que \dfrac{dy}{dt}=0.
Resolver
y+y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad y(1+y)=0,
logo os equilíbrios são
y=0\quad\text{e}\quad y=-1.
Passo 3
Determinar o sinal de f(y)=y(1+y) nos intervalos determinados pelos equilíbrios (-\infty,-1),(-1,0),(0,\infty). Isso diz a direção do fluxo (se y aumenta ou diminui).
Para y>0: y>0 e 1+y>0 então f(y)>0. Logo y aumenta (seta para a direita).
Para -1<y<0: y<0 e 1+y>0 então f(y)<0. Logo y diminui (seta para a esquerda).
Para y<-1: y<0 e 1+y<0 então f(y)>0. Logo y aumenta (seta para a direita).
Interpretação intuitiva (linha de fase):
Em torno de y=-1 as setas vêm de ambos os lados em direção a -1 (atrator).
Em torno de y=0 as setas apontam para fora (repulsor).
Portanto: y=-1 é estável (atrator) e y=0 é instável (repulsor).
Passo 4
Verificação por linearização (para reforçar a intuição): calcular f'(y)=\dfrac{d}{dy}(y+y^{2})=1+2y.
Em y=-1: f'(-1)=1+2(-1)=-1<0 → equilíbrio assintoticamente estável (pequenas perturbações decaem).
Em y=0: f'(0)=1>0 → equilíbrio instável (pequenas perturbações crescem).
Isso confirma a classificação acima.
Passo 5
Resolver explicitamente (para esboçar formas das curvas e calcular tempos de explosão). A equação é separável:
Ao aproximar t\to t^{* -} a denom. 1-Ae^{t}\to0^{+} e y(t)\to +\infty. Assim, para y_0>0 a solução cresce e explode para +\infty em tempo finito (vertical asymptote).
Caso -1<y_0<0: então A<0. Para todo t temos A e^{t}<0 e 1-Ae^{t}\neq0. A solução existe para todo t\in\mathbb{R}. Limites:
Logo trajectórias com -1<y_0<0 decrescem monotonamente de 0 (quando t\to-\infty) até -1 (quando t\to+\infty).
Caso y_0<-1: então A>1. O instante t^{*} tal que A e^{t^{*}}=1 satisfaz t^{*}=-\ln A<0. Ou seja, existe uma singularidade (explosão para +\infty) no passado; para t>t^{*} a solução é definida e, quando t\to+\infty,
Portanto, para y_0<-1 a solução cresce (pois f(y)>0) e aproxima-se de -1 por baixo à medida que t\to+\infty; essa solução tem uma explosão para +\infty num tempo finito t^{*}<0 no passado.
Esses resultados combinam com a linha de fase: -1 atrai soluções vindas de ambos os lados; 0 repele.
Passo 7
Descrever qualitativamente os esboços (como desenhar no papel, o que procurar):
Linha de fase (reta vertical com pontos marcados em y=-1 e y=0):
Setas para a direita em y<-1.
Setas para a esquerda em -1<y<0.
Setas para a direita em y>0.
Marca -1 como estável (setas apontam para ele) e 0 como instável.
Gráficos y(t):
Para y_0>0: curvas crescentes que vão para +\infty em tempo finito (vertical asymptote). Ao desenhar, coloque uma curva subindo e ficando vertical em um t=t^*.
Para -1<y_0<0: curvas que começam próximas de 0 para tempos muito negativos e caem monotonicamente para -1 quando t aumenta; são suaves e assintóticas a -1.
Para y_0<-1: curvas que começam (no passado) de +\infty (singularidade), passam por valores muito negativos e aumentam, aproximando-se de -1 por baixo quando t\to+\infty.
Dica prática para a prova: fazer primeiro a linha de fase (é rápido) e, se pedir, escrever a solução explícita por separação de variáveis para calcular tempos de explosão ou limites exatos.
Resposta
Equilíbrios: -1 (estável) e 0 (instável).
Para y(0)=y_0>0: y(t) cresce e explode para +\infty em tempo finito t^{*}=-\ln\!\left(\dfrac{y_0}{1+y_0}\right)>0.
Para -1<y_0<0: y(t) decresce monotonicamente e \lim_{t\to+\infty}y(t)=-1,\\ \lim_{t\to-\infty}y(t)=0.
Para y_0<-1: y(t) aumenta e \lim_{t\to+\infty}y(t)=-1; existe uma explosão para +\infty em tempo finito no passado t^{*}=-\ln\!\left(\dfrac{y_0}{1+y_0}\right)<0.