(a) Ache a dimensāo de potencial elétrico em função da dimensão de energia e em função da dimensão de campo elétrico. (b) Escreva as unidades de potencial elétrico no SI.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) achar a dimensão do potencial elétrico (tensão) expressa em função da dimensão de energia e, separadamente, em função da dimensão de campo elétrico;
  • (b) escrever as unidades do potencial elétrico no SI.
Informações úteis que serão usadas (sem resolver ainda):
  • existe a noção de trabalho/energia W e de carga elétrica q;
  • existe o campo elétrico \mathbf{E} e o comprimento/posição L.

Passo 2

Definição física do potencial elétrico (tensão): explicar a ideia.
  • O potencial elétrico entre dois pontos é definido como o trabalho por unidade de carga necessário para levar uma carga de um ponto ao outro sem acelerar a carga. Em fórmula, a diferença de potencial \Delta V é
\Delta V=\frac{W}{q},
onde W é o trabalho (energia) e q é a carga elétrica.
  • Aqui: W tem dimensão de energia, q tem dimensão de carga. Essa é a definição que nos dá a relação direta entre potencial, energia e carga.

Passo 3

Derivar a dimensão do potencial em função da dimensão de energia.
  • Usando \Delta V=\dfrac{W}{q}, a dimensão do potencial (vou denotar por [\!V\!]) é
[\!V\!]=\frac{[\!W\!]}{[\!q\!]},
onde [\!W\!] é a dimensão de energia e [\!q\!] é a dimensão de carga.
  • Em palavras: o potencial tem dimensão de energia por unidade de carga. Isso responde a primeira parte de (a).

Passo 4

Relacionar potencial com campo elétrico.
  • O potencial também está ligado ao campo elétrico pela integral de linha (diferença de potencial entre dois pontos):
\Delta V=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell}.
  • Dimensionalmente, um pequeno trecho dá dV \sim E\,dl. Assim, a dimensão do potencial é produto da dimensão do campo elétrico pela dimensão de comprimento:
[\!V\!]=[\!\mathbf{E}\!]\,[\!L\!],
onde [\!\mathbf{E}\!] é a dimensão do campo elétrico e [\!L\!] é a dimensão de comprimento.
  • Esta é a segunda forma pedida em (a): potencial = campo elétrico × comprimento.

Passo 5

Verificar consistência entre as duas expressões (curiosidade didática).
  • O campo elétrico é força por unidade de carga: \mathbf{E}=\dfrac{\mathbf{F}}{q}. Como força tem dimensão de energia por comprimento, temos
[\!\mathbf{E}\!]=\frac{[\!W\!]/[\!L\!]}{[\!q\!]}=\frac{[\!W\!]}{[\!q\!][\!L\!]}.
  • Multiplicando por [\!L\!] obtemos
[\!\mathbf{E}\!]\,[\!L\!]=\frac{[\!W\!]}{[\!q\!]},
que coincide com a expressão do Passo 3. Ou seja, as duas formas são consistentes.

Passo 6

Escrever as unidades no SI e decompor em unidades fundamentais.
  • Começamos pela relação direta:
\text{volt (unidade)}=\frac{\text{joule}}{\text{coulomb}},\qquad \mathrm{V}=\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}}.
  • Agora decompondo \mathrm{J} e \mathrm{C} em unidades fundamentais:
\mathrm{J}=\mathrm{N}\cdot\mathrm{m},\qquad \mathrm{N}=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2},
logo
\mathrm{J}=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}.
A carga elétrica em SI é coulomb:
\mathrm{C}=\mathrm{A}\cdot\mathrm{s},
onde \mathrm{A} é ampère (corrente) e \mathrm{s} é segundo.
  • Substituindo em \mathrm{V}=\mathrm{J}/\mathrm{C}:
\mathrm{V}=\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}}{\mathrm{A}\cdot\mathrm{s}} =\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-3}\cdot\mathrm{A}^{-1}.

Passo 7

Resumo didático curto (como usar isso na prova).
  • Para responder (a): usar a definição \Delta V=W/q para escrever [\!V\!]=[\!W\!]/[\!q\!] e usar \Delta V=-\int\mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} para escrever [\!V\!]=[\!\mathbf{E}\!][\!L\!]. Mostrar as duas formas e, se precisar, provar que elas são equivalentes usando [\!\mathbf{E}\!]=[\!W\!]/([\!q\!][\!L\!]).
  • Para (b): lembrar que \mathrm{V}=\mathrm{J}/\mathrm{C} e decompor em unidades base para chegar em \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-3}\,\mathrm{A}^{-1}.

Resposta

(a) [\!V\!]=\dfrac{[\!W\!]}{[\!q\!]} \quad e \quad [\!V\!]=[\!\mathbf{E}\!]\,[\!L\!]
(b) \mathrm{V}=\dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-3}\,\mathrm{A}^{-1}

Exercícios relacionados