Estime o trabalho realizado pelo campo elétrico ao longo dos pontos de uma superfície equiipotencial, para deslocar uma carga
entre dois pontos pertencentes a esta superficie eqüipotencial
Passo 1
O enunciado pede: estimar o trabalho realizado pelo campo elétrico ao deslocar uma carga
entre dois pontos pertencentes à mesma superfície equipotencial.
Informações fornecidas:
- Há uma superfície equipotencial (ou seja, todos os pontos dessa superfície têm o mesmo potencial elétrico).
- Dois pontos
e pertencem a essa superfície equipotencial. - Uma carga elétrica
é deslocada de para ao longo de um trajeto que permanece sobre essa superfície. - O que se deve estimar é o trabalho realizado pelo campo elétrico nesse deslocamento.
Passo 2
Definição física do trabalho realizado pelo campo elétrico. Vou escrever a expressão geral e explicar cada símbolo.
A força elétrica sobre uma carga
em campo elétrico
é
. O trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar a carga de
para
ao longo de um caminho
é o integral de linha
Aqui:
-
é o trabalho realizado pelo campo elétrico (energia fornecida pelo campo). -
é a força elétrica instantânea sobre a carga. -
é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho . - O ponto
é a posição inicial e a final.
Substituindo
:
Passo 3
Relação entre campo elétrico e potencial elétrico e como isso simplifica o integral. Explico a relação e cada peça.
Para campos elétricos eletrostáticos (campo conservativo) existe uma função potencial
tal que
Aqui:
-
é o potencial elétrico no ponto . -
é o gradiente do potencial; aponta na direção de maior aumento de . - O sinal negativo indica que
aponta para a direção de queda do potencial.
Usando
no integral do trabalho:
Pelo teorema fundamental do gradiente (linha integral de um gradiente entre dois pontos depende apenas dos valores nos extremos),
Logo
Explicando as variáveis nessa fórmula final:
-
é a diferença de potencial entre os pontos final e inicial. -
é a carga que se desloca. - O produto
dá o trabalho do campo (positivo se o campo fornece energia, negativo se o campo recebe energia).
Passo 4
Aplicando ao caso de superfície equipotencial. Aqui uso diretamente a definição de equipotencial.
Por definição de superfície equipotencial, os dois pontos
e
têm o mesmo potencial. Ou seja,
Portanto
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Intuição geométrica complementar (mais didático): por que
ao mover sobre uma equipotencial.
Uma superfície equipotencial é formada por pontos de igual potencial; o campo elétrico
é sempre perpendicular a superfícies de igual potencial (porque
, o gradiente é normal às superfícies de nível). Se o deslocamento permanece sobre a superfície, o vetor diferencial
é tangente à superfície. Vetores normal e tangente são ortogonais, logo o produto escalar é nulo:
e assim
Essa é uma explicação alternativa, mais geométrica, que confirma o resultado anterior.
Passo 6
Observações práticas e interpretação física (curta e útil).
- O trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover
entre dois pontos da mesma equipotencial é nulo: o campo não entrega nem absorve energia nesse deslocamento. - Consequência: um agente externo que fizer o deslocamento sem aceleração também não precisa realizar trabalho líquido para mover a carga ao longo da equipotencial (o trabalho do agente externo será zero se o movimento for lento e sem outras forças dissipativas).
- Caveat rápido: isso vale para campos eletrostáticos/conservativos e para trajetórias inteiramente contidas na superfície equipotencial. Em situações com campos não conservativos (por exemplo, com campos elétricos induzidos por campos magnéticos variáveis no tempo) a argumentação não se aplica.