Estime o trabalho realizado pelo campo elétrico ao longo dos pontos de uma superfície equiipotencial, para deslocar uma carga q entre dois pontos pertencentes a esta superficie eqüipotencial

Passo 1

O enunciado pede: estimar o trabalho realizado pelo campo elétrico ao deslocar uma carga q entre dois pontos pertencentes à mesma superfície equipotencial.
Informações fornecidas:
  • Há uma superfície equipotencial (ou seja, todos os pontos dessa superfície têm o mesmo potencial elétrico).
  • Dois pontos A e B pertencem a essa superfície equipotencial.
  • Uma carga elétrica q é deslocada de A para B ao longo de um trajeto que permanece sobre essa superfície.
  • O que se deve estimar é o trabalho realizado pelo campo elétrico nesse deslocamento.

Passo 2

Definição física do trabalho realizado pelo campo elétrico. Vou escrever a expressão geral e explicar cada símbolo.
A força elétrica sobre uma carga q em campo elétrico \vec{E} é \vec{F}=q\vec{E}. O trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar a carga de A para B ao longo de um caminho C é o integral de linha
W_{\text{campo}}=\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{\ell}.
Aqui:
  • W_{\text{campo}} é o trabalho realizado pelo campo elétrico (energia fornecida pelo campo).
  • \vec{F}=q\vec{E} é a força elétrica instantânea sobre a carga.
  • d\vec{\ell} é um elemento infinitesimal do deslocamento ao longo do caminho C.
  • O ponto A é a posição inicial e B a final.
Substituindo \vec{F}:
W_{\text{campo}}=q\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}.

Passo 3

Relação entre campo elétrico e potencial elétrico e como isso simplifica o integral. Explico a relação e cada peça.
Para campos elétricos eletrostáticos (campo conservativo) existe uma função potencial V(\vec{r}) tal que
\vec{E}=-\nabla V.
Aqui:
  • V(\vec{r}) é o potencial elétrico no ponto \vec{r}.
  • \nabla V é o gradiente do potencial; aponta na direção de maior aumento de V.
  • O sinal negativo indica que \vec{E} aponta para a direção de queda do potencial.
Usando \vec{E}=-\nabla V no integral do trabalho:
W_{\text{campo}}=q\int_{A}^{B}(-\nabla V)\cdot d\vec{\ell}=-q\int_{A}^{B}\nabla V\cdot d\vec{\ell}.
Pelo teorema fundamental do gradiente (linha integral de um gradiente entre dois pontos depende apenas dos valores nos extremos),
\int_{A}^{B}\nabla V\cdot d\vec{\ell}=V(B)-V(A).
Logo
W_{\text{campo}}=-q\bigl(V(B)-V(A)\bigr)=-q\,\Delta V.
Explicando as variáveis nessa fórmula final:
  • \Delta V=V(B)-V(A) é a diferença de potencial entre os pontos final e inicial.
  • q é a carga que se desloca.
  • O produto -q\,\Delta V dá o trabalho do campo (positivo se o campo fornece energia, negativo se o campo recebe energia).

Passo 4

Aplicando ao caso de superfície equipotencial. Aqui uso diretamente a definição de equipotencial.
Por definição de superfície equipotencial, os dois pontos A e B têm o mesmo potencial. Ou seja,
V(B)=V(A).
Portanto
\Delta V=V(B)-V(A)=0.
Substituindo em W_{\text{campo}}=-q\,\Delta V obtemos
W_{\text{campo}}=-q\cdot 0=0.

Passo 5

Intuição geométrica complementar (mais didático): por que \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=0 ao mover sobre uma equipotencial.
Uma superfície equipotencial é formada por pontos de igual potencial; o campo elétrico \vec{E} é sempre perpendicular a superfícies de igual potencial (porque \vec{E}=-\nabla V, o gradiente é normal às superfícies de nível). Se o deslocamento permanece sobre a superfície, o vetor diferencial d\vec{\ell} é tangente à superfície. Vetores normal e tangente são ortogonais, logo o produto escalar é nulo:
\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=0\quad\text{em todo o trajeto},
e assim
\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}=0\quad\Rightarrow\quad W_{\text{campo}}=q\cdot 0=0.
Essa é uma explicação alternativa, mais geométrica, que confirma o resultado anterior.

Passo 6

Observações práticas e interpretação física (curta e útil).
  • O trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover q entre dois pontos da mesma equipotencial é nulo: o campo não entrega nem absorve energia nesse deslocamento.
  • Consequência: um agente externo que fizer o deslocamento sem aceleração também não precisa realizar trabalho líquido para mover a carga ao longo da equipotencial (o trabalho do agente externo será zero se o movimento for lento e sem outras forças dissipativas).
  • Caveat rápido: isso vale para campos eletrostáticos/conservativos e para trajetórias inteiramente contidas na superfície equipotencial. Em situações com campos não conservativos (por exemplo, com campos elétricos induzidos por campos magnéticos variáveis no tempo) a argumentação não se aplica.

Resposta

W_{\text{campo}}=0

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