Ache a distribuição do campo elétrico, usando a equação de Laplace e mostrando cada uma das condições de contorno de uma esfera condutora que está dentro de um campo elétrico \mathrm{E}(\mathrm{r})=\mathrm{E}_{0} \cos \mathrm{kr}.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição do campo elétrico de uma esfera condutora colocada dentro de um campo externo dado por E(r)=E_{0}\cos kr, usando a equação de Laplace e mostrando as condições de contorno. As informações e pressupostos que vou usar (sem perguntar nada) são:
  • A esfera condutora tem raio a e está centrada na origem (caso usual).
  • Para que a equação de Laplace seja aplicável na região externa ao condutor (região sem cargas livres), o campo externo deve ser derivável de um potencial harmônico. A forma escrita no enunciado \,E(r)=E_{0}\cos kr\, parece indicar dependência radial com kr, a qual geraria fontes volumétricas (não satisfaz Laplace). É muito comum, porém, no problema clássico, que o campo externo seja uniforme na direção z e expresso em coordenadas esféricas por \,E_0\cos\theta\,.
    Vou, portanto, adotar a interpretação padrão e natural para aplicar Laplace: o campo externo é uniforme e pontua na direção z, cuja representação angular é \,E_0\cos\theta. Se realmente o enunciado quisesse \cos kr com k\neq0, a solução exigiria tratar fontes volumétricas (Poisson) e NÃO a equação de Laplace; nesse caso a solução seria diferente.
  • Adoto a esfera condutora aterrada (potencial 0 na superfície). Isso é o caso clássico e simplifica a apresentação; se a esfera não for aterrada, aparece apenas uma constante de potencial adicional e um possível carregamento neto.
  • O objetivo concreto: encontrar o potencial \Phi(r,\theta) e o campo \mathbf{E}=-\nabla\Phi nas regiões exterior ( r\ge a) e interior ( r\le a), e mostrar as condições de contorno usadas.

Passo 2

Conceito chave usado (explicação didática curta): em eletrostática estacionária sem cargas na região considerada vale a equação de Laplace
\nabla^2\Phi=0.
Em coordenadas esféricas, para problemas com simetria de revolução em torno de um eixo (dependência somente em r e \theta, sem dependência em \varphi), a solução geral regular fora de origens é dada pela expansão em polinômios de Legendre:
\Phi(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty}\left(A_l r^{l}+B_l r^{-(l+1)}\right)P_l(\cos\theta),
onde P_l é o polinômio de Legendre de ordem l, e A_l,B_l são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Breve explicação do porquê dessa forma: separando variáveis em Laplace com simetria axial leva a soluções radiais r^l e r^{-(l+1)} multiplicadas por funções angulares P_l(\cos\theta). Os termos com r^l crescem como potência e os com r^{-(l+1)} decaem.

Passo 3

Identificação do termo externo (condição no infinito): o campo externo uniforme \mathbf{E}_0=E_0\hat z tem potencial (escolhendo a referência conveniente)
\Phi_{\infty}(r,\theta) = -E_0 r\cos\theta
pois -\nabla(-E_0 r\cos\theta)=E_0\hat z. Este potencial corresponde ao termo l=1 da expansão: P_1(\cos\theta)=\cos\theta com parte radial proporcional a r. Portanto, na solução externa só será necessário o termo l=1 (os outros l\ge2 são desnecessários porque o campo externo não os contém e não haverá fontes que os gerem).
Assim, a forma geral do potencial fora da esfera ( r\ge a) reduz-se a
\Phi(r,\theta)=\left(A r + \dfrac{B}{r^{2}}\right)\cos\theta,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Condição no infinito e determinação de A. Exigimos que, quando r\to\infty, o potencial tenda ao potencial do campo externo:
\Phi(r,\theta)\xrightarrow[r\to\infty]{} -E_0 r\cos\theta.
Comparando com a forma \left(A r + B/r^{2}\right)\cos\theta vemos que
A = -E_0.

Passo 5

Condição na superfície do condutor e determinação de B. Para a esfera condutora aterrada temos a condição de contorno:
\Phi(a,\theta)=0\quad\text{(potencial constante, aqui 0)}.
Substituindo a forma do potencial:
\left(-E_0 a + \dfrac{B}{a^{2}}\right)\cos\theta = 0\quad\text{para todo }\theta.
Como \cos\theta não é identicamente zero, o coeficiente entre parênteses deve ser zero:
-E_0 a + \dfrac{B}{a^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad B = E_0 a^{3}.

Passo 6

Escrevendo a solução final do potencial fora da esfera. Substituindo A e B obtém-se
\boxed{\Phi(r,\theta)= -E_0\cos\theta\left(r-\dfrac{a^{3}}{r^{2}}\right),\qquad r\ge a.}
Dentro da esfera condutora ( r\le a), por ser condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero e o potencial é constante; com a escolha de aterramento:
\boxed{\Phi(r,\theta)=0,\qquad r\le a.}

Passo 7

Cálculo do campo elétrico a partir de \Phi. Regra prática (fórmula útil): \mathbf{E}=-\nabla\Phi. Para potenciais axisimétricos, as componentes em coordenadas esféricas são
E_r = -\dfrac{\partial\Phi}{\partial r},\qquad E_\theta = -\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\Phi}{\partial\theta}.
Calculemos as derivadas passo a passo.
Primeiro escrevemos \Phi(r,\theta)=-E_0\cos\theta\left(r-\dfrac{a^{3}}{r^{2}}\right).
Derivada radial:
\dfrac{\partial\Phi}{\partial r} = -E_0\cos\theta\left(1 + \dfrac{2a^{3}}{r^{3}}\right).
Logo
\boxed{E_r(r,\theta)= -\dfrac{\partial\Phi}{\partial r} = E_0\cos\theta\left(1+\dfrac{2a^{3}}{r^{3}}\right).}
Derivada angular:
\dfrac{\partial\Phi}{\partial\theta} = -E_0\left(r-\dfrac{a^{3}}{r^{2}}\right)(-\sin\theta) = E_0\left(r-\dfrac{a^{3}}{r^{2}}\right)\sin\theta.
Portanto
\boxed{E_\theta(r,\theta)= -\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial\Phi}{\partial\theta} = -E_0\sin\theta\left(1-\dfrac{a^{3}}{r^{3}}\right).}
Assim, o campo elétrico fora da esfera é
\mathbf{E}(r,\theta)=E_r\,\hat r + E_\theta\,\hat\theta
com E_r e E_\theta dados acima. Dentro da esfera \mathbf{E}=0.

Passo 8

Verificação das condições de contorno físicas (inspiração para prova):
  • No infinito ( r\to\infty) a solução dá E_r\to E_0\cos\theta e E_\theta\to -E_0\sin\theta, isto é, \mathbf{E}\to E_0\hat z — recupera o campo externo, OK.
  • Na superfície r=a a componente tangencial do campo é nula:
E_\theta(a,\theta) = -E_0\sin\theta\left(1-\dfrac{a^{3}}{a^{3}}\right)=0,
o que garante que a superfície do condutor é equipotencial (nenhuma componente tangencial do campo elétrico).
  • A componente normal na superfície é
E_r(a,\theta)=E_0\cos\theta(1+2)=3E_0\cos\theta.
A densidade superficial de carga induzida é dada pela condição de salto do campo normal:
\sigma(\theta)=\varepsilon_{0}\bigl(E_r^{\text{(fora)}}-E_r^{\text{(dentro)}}\bigr)=\varepsilon_{0}E_r(a,\theta)
(pois E_r dentro = 0). Assim
\boxed{\sigma(\theta)=3\varepsilon_{0}E_0\cos\theta.}
  • Verificação rápida do carregamento líquido: integrar \sigma sobre a esfera dá zero, mostrando que a esfera não recebeu carga líquida (apenas dipolo induzido):
Q_{\text{total}}=\int_{\text{esfera}}\sigma\,dA = 3\varepsilon_0 E_0 \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\cos\theta \, a^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi =0.

Passo 9

Momento dipolar induzido (interpretação física): o termo do potencial da forma \dfrac{B\cos\theta}{r^{2}} corresponde ao potencial de um dipolo colocado na origem com momento \mathbf{p} paralelo a z, cujo potencial é \Phi_{\text{dip}}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{p\cos\theta}{r^{2}}. Igualando com \dfrac{B\cos\theta}{r^{2}} temos
B=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad p=4\pi\varepsilon_0 B.
Com B=E_0 a^{3} obtemos
\boxed{\mathbf{p}=4\pi\varepsilon_0 E_0 a^{3}\,\hat z.}
Isso mostra que a esfera aterrada comporta-se como um dipolo induzido proporcional a E_0 e ao volume efetivo a^{3}.

Resposta

\displaystyle \Phi(r,\theta)= -E_0\cos\theta\!\left(r-\dfrac{a^{3}}{r^{2}}\right),\quad r\ge a.\n
\displaystyle \Phi(r,\theta)=0,\quad r\le a.\n
\displaystyle E_r(r,\theta)=E_0\cos\theta\left(1+\dfrac{2a^{3}}{r^{3}}\right),\quad E_\theta(r,\theta)=-E_0\sin\theta\left(1-\dfrac{a^{3}}{r^{3}}\right),\quad r\ge a.\n
\displaystyle \mathbf{E}=0\quad\text{para }r\le a.\n
\displaystyle \sigma(\theta)=3\varepsilon_0 E_0\cos\theta.\n
\displaystyle \mathbf{p}=4\pi\varepsilon_0 E_0 a^{3}\,\hat z.

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