3-Considere uma carga pontual positiva q movendo-se no vácuo, em um círculo de raio a, com velocidade constante w. O cículo descrito pela partícula carregada está no plano xy e é centrado na origem. Usando os potenciais de Liénard-Wiechert:
\left\{\begin{array}{c} \varphi(\vec{r}, t)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{o}(R-\vec{R} \cdot \vec{\beta})^{3}} \\\ \vec{A}(\vec{r}, t)=\frac{1}{c} \varphi(\vec{r}, t) \vec{\beta} \end{array}\right.
1
onde \vec{\beta}=\vec{v} / c, \vec{v} denota a velocidade vetorial da carga no tempo retardado t_{r}, c é a velocidade da luz e \vec{R} representa o vetor ligando a posição retardada da carga até o ponto de observação \vec{r}, com R=|\vec{R}|. Para um ponto de observação localizado ao longo do eixo z , a uma distância z da origem, calcule: a) O tempo retardado t_{r} em termos de t, a, z e c. b) O potencial \varphi(z, t) em termos de q, a e z. c) O potencial vetor \vec{A}(z, t) em termos de q, w, a, z, t_{r} e dos vetores unitários \widehat{x} e \widehat{y}. d) Os campos elétrico \vec{E} e magnético \vec{B}.

Passo 1

O enunciado dá uma carga pontual positiva q descrevendo um movimento circular uniforme (raio a, velocidade angular \omega) no plano xy, centrada na origem. O ponto de observação está sobre o eixo z, na posição (0,0,z). Foi pedido:
(a) o tempo retardado t_{r} em função de t,a,z,c;
(b) o potencial escalar \varphi(z,t);
(c) o potencial vetor \vec A(z,t) (em termos de q,\omega,a,z,t_{r} e \widehat x,\widehat y);
(d) os campos \vec E e \vec B.
Informações relevantes que vamos usar (pegas do enunciado):
  • Posição da carga no tempo retardado t_r: \vec r_q(t_r)=a\cos(\varphi_r)\,\widehat x + a\sin(\varphi_r)\,\widehat y, onde \varphi_r=\omega t_r.
  • Velocidade da carga no tempo retardado: \vec v(t_r)=\omega a\big(-\sin\varphi_r\,\widehat x+\cos\varphi_r\,\widehat y\big).
  • Vetor que liga a posição retardada da carga ao ponto de observação: \vec R=\vec r-\vec r_q(t_r)=( -a\cos\varphi_r)\,\widehat x +(-a\sin\varphi_r)\,\widehat y + z\,\widehat z.
  • \beta=\vec v/c.
  • Relação entre tempo de observação t e tempo retardado t_r: t=t_r+R/c, com R=|\vec R|.
  • Usaremos as fórmulas de Liénard–Wiechert apropriadas e as manipulações escalares e vetoriais necessárias (não são assumidos simplificações sem justificativa).

Passo 2

Calcular o módulo R do vetor \vec R para um ponto no eixo z.
Escrevendo \vec R explicitamente:
\vec R = (-a\cos\varphi_r)\,\widehat x + (-a\sin\varphi_r)\,\widehat y + z\,\widehat z.
O módulo é
R=\sqrt{(-a\cos\varphi_r)^2+(-a\sin\varphi_r)^2+z^2} =\sqrt{a^2(\cos^2\varphi_r+\sin^2\varphi_r)+z^2} =\sqrt{a^2+z^2}.
Importante: R é independente de \varphi_r (ou seja, independe da posição angular da carga); isso simplifica muito os cálculos.
Agora usamos a relação de retardo t=t_r+R/c. Como R=\sqrt{a^2+z^2} é constante (para esse ponto de observação), podemos isolar t_r:
t_r = t - \frac{R}{c}=t-\frac{\sqrt{a^2+z^2}}{c}.

Passo 3

Calcular o potencial escalar \varphi(z,t).
Primeiro, identifique o produto \hat n\cdot\vec\beta que aparece nas formas usuais de Liénard–Wiechert. Definindo o versor
\hat n=\frac{\vec R}{R}=\frac{(-a\cos\varphi_r)\,\widehat x+(-a\sin\varphi_r)\,\widehat y+z\,\widehat z}{R},
e lembrando \vec\beta=\vec v/c=(\omega a/c)(-\sin\varphi_r\,\widehat x+\cos\varphi_r\,\widehat y), calculemos o produto escalar:
\hat n\cdot\vec\beta=\frac{1}{R}\big[(-a\cos\varphi_r)\cdot(\omega a/c)(-\sin\varphi_r)+(-a\sin\varphi_r)\cdot(\omega a/c)(\cos\varphi_r)+z\cdot 0\big].
Os dois termos em x,y cancelam:
(-a\cos\varphi_r)(-\sin\varphi_r)+(-a\sin\varphi_r)(\cos\varphi_r)=a(-\cos\varphi_r\sin\varphi_r-\sin\varphi_r\cos\varphi_r)=0.
Portanto \hat n\cdot\vec\beta=0.
Usando a forma simplificada do potencial escalar de Liénard–Wiechert (SI):
\varphi(\vec r,t)=\left.\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{(1-\hat n\cdot\vec\beta)R}\right|_{t_r},
com (1-\hat n\cdot\vec\beta)=1, obtemos
\varphi(z,t)=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 R}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{a^2+z^2}}.
Observação didática: aqui a dependência temporal desaparece porque R não depende de \varphi_r; então \varphi ao longo do eixo z é equivalente ao potencial eletrostático de uma carga localizada a uma distância fixa R — mas lembre-se que essa “posição efetiva” é avaliada no tempo retardado.

Passo 4

Calcular o potencial vetor \vec A(z,t).
A forma geral dada (e padrão) é
\vec A(\vec r,t)=\left.\frac{1}{c}\,\varphi(\vec r,t)\,\vec\beta\right|_{t_r}.
Substituindo \varphi e \vec\beta:
\vec A(z,t)=\frac{1}{c}\cdot\frac{q}{4\pi\epsilon_0 R}\cdot\frac{\vec v(t_r)}{c} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec v(t_r)}{c^2 R}.
A velocidade no tempo retardado é \vec v(t_r)=\omega a(-\sin\varphi_r\,\widehat x+\cos\varphi_r\,\widehat y) com \varphi_r=\omega t_r. Portanto
\vec A(z,t)=\frac{q\omega a}{4\pi\epsilon_0 c^2 R}\big(-\sin(\omega t_r)\,\widehat x+\cos(\omega t_r)\,\widehat y\big),
onde R=\sqrt{a^2+z^2} e t_r é o valor obtido no Passo 2.

Passo 5

Calcular o campo elétrico \vec E a partir dos potenciais: \vec E=-\nabla\varphi-\dfrac{\partial\vec A}{\partial t}.
  1. Primeiro termo -\nabla\varphi:
Como \varphi(z,t)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0 R} e R=\sqrt{a^2+z^2} depende apenas de z (no ponto de observação), temos
\frac{d}{dz}\!\left(\frac{1}{R}\right)=-\frac{z}{R^3}.
Logo
\nabla\varphi=\frac{d\varphi}{dz}\,\widehat z =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\left(-\frac{z}{R^3}\right)\widehat z =-\frac{q z}{4\pi\epsilon_0 R^3}\,\widehat z.
Portanto
-\nabla\varphi=+\frac{q z}{4\pi\epsilon_0 R^3}\,\widehat z.
Esse termo é o componente longitudinal (ao longo do eixo z) do campo elétrico; é igual ao campo elétrico estático de uma carga a distância R projetado no eixo.
  1. Segundo termo -\dfrac{\partial\vec A}{\partial t}:
Para derivar \vec A(z,t) em relação a t é preciso lembrar que \vec A está avaliado no tempo retardado t_r. Em geral \partial/\partial t=\left(\partial t_r/\partial t\right)\partial/\partial t_r. Mas já vimos que \hat n\cdot\vec\beta=0 implica \dfrac{\partial t_r}{\partial t}=\dfrac{1}{1-\hat n\cdot\vec\beta}=1. Assim \partial\vec A/\partial t=\partial\vec A/\partial t_r neste caso (não há fator extra).
Usando a expressão de \vec A:
\vec A(z,t)=C\big(-\sin\varphi_r\,\widehat x+\cos\varphi_r\,\widehat y\big), \qquad C=\frac{q\omega a}{4\pi\epsilon_0 c^2 R},\quad \varphi_r=\omega t_r.
Derivando em relação a t_r (e lembrando \,d\varphi_r/dt_r=\omega):
\frac{\partial\vec A}{\partial t} =\frac{\partial\vec A}{\partial t_r} =C\omega\big(-\cos\varphi_r\,\widehat x -\sin\varphi_r\,\widehat y\big).
Portanto
-\frac{\partial\vec A}{\partial t} = C\omega\big(\cos\varphi_r\,\widehat x +\sin\varphi_r\,\widehat y\big).
Substituindo C:
-\frac{\partial\vec A}{\partial t} =\frac{q\omega^2 a}{4\pi\epsilon_0 c^2 R}\big(\cos(\omega t_r)\,\widehat x+\sin(\omega t_r)\,\widehat y\big).
Esse termo é puramente transversal (no plano xy) e corresponde ao campo associado à aceleração da carga (termo que decai como 1/R — termo de radiação).
  1. Somando os dois termos, obtemos o campo elétrico total no eixo z:
\boxed{\displaystyle \vec E(z,t)=\frac{q z}{4\pi\epsilon_0 R^3}\,\widehat z +\frac{q\omega^2 a}{4\pi\epsilon_0 c^2 R}\big(\cos(\omega t_r)\,\widehat x+\sin(\omega t_r)\,\widehat y\big), }
com R=\sqrt{a^2+z^2} e t_r=t-\dfrac{R}{c}.
Comentário didático: o primeiro termo (proporcional a 1/R^2 quando projetado para grande z) é o termo “não-radiativo” parecido com o campo Coulombiano; o segundo termo (proporcional a \omega^2 a/(c^2 R)) é o termo de aceleração que decai como 1/R e representa o campo de radiação transverso, oscilando com \omega t_r.

Passo 6

Calcular o campo magnético \vec B.
Uma relação conveniente para os campos de Liénard–Wiechert é que, no ponto de observação e avaliadas no tempo retardado, o campo magnético pode ser obtido a partir do campo elétrico via o versor \hat n=\vec R/R; em unidades SI, para os termos relevantes, vale a relação
\vec B(\vec r,t)=\frac{1}{c}\,\hat n\times\vec E(\vec r,t)\quad\text{(avaliação em }t_r\text{).}çã
(Explicação curta: esta relação é a forma vetorial que liga os componentes transversos dos campos eletromagnéticos de uma fonte pontual; ao avaliar em t_r ela dá o campo magnético correspondente tanto ao termo de radiação quanto às contribuições relacionadas ao movimento, com a convenção SI usada.)
No nosso caso
\hat n=\frac{\vec R}{R}=\frac{(-a\cos\varphi_r)\,\widehat x+(-a\sin\varphi_r)\,\widehat y+z\,\widehat z}{R}.
Tomando o produto vetorial \hat n\times\vec E e fazendo as contas (detalhes algébricos: separar componente longitudinal E_z e transversal \vec E_t, calcular \hat n\times\vec E_t e \hat n\times(E_z\widehat z) e somar), obtém-se uma forma compacta para \vec B que tem apenas componentes nos eixos \widehat x,\widehat y e é proporcional ao vetor perpendicular -\sin\varphi_r\,\widehat x+\cos\varphi_r\,\widehat y. Escrevendo de modo explícito:
\boxed{\displaystyle \vec B(z,t)=\frac{1}{c}\,\frac{z\,E_t + a\,E_z}{R}\big(-\sin(\omega t_r)\,\widehat x+\cos(\omega t_r)\,\widehat y\big), }
onde E_t é a amplitude do termo transversal de \vec E (o coeficiente do vetor \cos\varphi_r\,\widehat x+\sin\varphi_r\,\widehat y) e E_z é a componente longitudinal já encontradas no Passo 5. Substituindo explicitamente E_t e E_z (para escrever tudo em termos de q,\omega,a,z,R):
  • E_t=\dfrac{q\omega^2 a}{4\pi\epsilon_0 c^2 R},
  • E_z=\dfrac{q z}{4\pi\epsilon_0 R^3}.
Assim uma forma totalmente explícita é
\boxed{\displaystyle \vec B(z,t)=\frac{q a z}{4\pi\epsilon_0 c\,R^4}\!\left(1+\frac{\omega^2 R^2}{c^2}\right)\!\big(-\sin(\omega t_r)\,\widehat x+\cos(\omega t_r)\,\widehat y\big), }
com R=\sqrt{a^2+z^2} e t_r=t-R/c. (Esta expressão foi obtida juntando as parcelas anteriores em um denominador comum; ela deixa claro os dois comportamentos: termo proporcional a 1/R^2 e termo de radiação proporcional a \omega^2/(c^2 R).)

Resposta

(a) t_r = t - \dfrac{\sqrt{a^2+z^2}}{c}.
(b) \displaystyle \varphi(z,t)=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{a^2+z^2}}.
(c) \displaystyle \vec A(z,t)=\dfrac{q\omega a}{4\pi\epsilon_0 c^2\sqrt{a^2+z^2}}\big(-\sin(\omega t_r)\,\widehat x+\cos(\omega t_r)\,\widehat y\big),\qquad t_r\text{ dado em (a).}
(d) \displaystyle \vec E(z,t)=\frac{q z}{4\pi\epsilon_0(a^2+z^2)^{3/2}}\,\widehat z+\frac{q\omega^2 a}{4\pi\epsilon_0 c^2\sqrt{a^2+z^2}}\big(\cos(\omega t_r)\,\widehat x+\sin(\omega t_r)\,\widehat y\big)
\displaystyle \displaystyle \vec B(z,t)=\frac{q a z}{4\pi\epsilon_0 c\,(a^2+z^2)^{2}}\!\left(1+\frac{\omega^2(a^2+z^2)}{c^2}\right)\!\big(-\sin(\omega t_r)\,\widehat x+\cos(\omega t_r)\,\widehat y\big), onde t_r é dado em (a).

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