Ache o Potencial e o Campo Elétrico em todo o espaço, usando a equação de Laplace, para um capacitor de placas paralelas com extensões infinitas. A distancia entre as placas é
. A placa esquerda está aterrada e a placa direita porta um potencial V.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente duas coisas: achar o potencial elétrico e o campo elétrico em todo o espaço para um capacitor de placas paralelas infinitas. As informações dadas são:
- A distância entre as placas é
. - A placa esquerda está aterrada (potencial igual a zero).
- A placa direita está ao potencial
. - As placas têm extensão infinita nas direções paralelas às superfícies (ou seja, são infinitas nos eixos transversais).
O objetivo é fornecer expressões do potenciale do campo elétrico em todas as regiões do espaço (à esquerda da placa esquerda, entre as placas e à direita da placa direita).
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e interpretar as simetrias (informal e importante antes de resolver).
- Coloco o eixo
perpendicular às placas, com a placa esquerda em e a placa direita em . - Por causa da extensão infinita das placas nas direções paralelas (direções
e ), nenhuma grandeza irá variar com ou . Assim, o potencial depende apenas de : . - Como o problema pede o uso da equação de Laplace e temos simetria unidimensional, a equação reduz-se a uma equação diferencial ordinária em
. Não estou resolvendo ainda, apenas organizando o que foi dado e o que foi fixado na modelagem.
Passo 3
Escrever a equação de Laplace no domínio relevante (entre as placas) e simplificá-la com a simetria.
- A equação de Laplace no vácuo é
. - Com
(dependência apenas de ), temos
Isto é uma equação diferencial ordinária simples de segunda ordem. Vou resolver essa ODE agora.
Passo 4
Resolver a ODE
entre as placas e aplicar as condições de contorno.
- Integrando uma vez:
onde
é constante de integração (tem interpretação física relacionada ao campo).
- Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração.
- Agora aplico as condições de contorno que o enunciado deu (peguei esses valores do enunciado):
(placa esquerda aterrada) e (placa direita ao potencial ). - Impondo
na expressão:
- Impondo
:
- Portanto, para a região entre as placas (
) o potencial é
Passo 5
Calcular o campo elétrico entre as placas a partir do potencial e explicar o sinal/direção.
- A relação fundamental entre campo elétrico e potencial é
. - Como
apenas,
- Derivando a expressão encontrada:
logo
- Interpretação do sinal: se
a placa direita está a potencial maior que a esquerda, então o campo aponta do potencial mais alto para o mais baixo, isto é, direção negativa de (da direita para a esquerda), consistente com o sinal negativo acima. O módulo do campo é constante e igual a .
Passo 6
Determinar o potencial e o campo fora das placas (regiões
e
) e justificar por que são constantes/zero.
- As superfícies condutoras (as placas) mantêm seus potenciais fixos: na própria placa esquerda o potencial é
e na placa direita é . Fora da região entre placas, devido à simetria de placas infinitas e ao fato de que as superfícies são condutoras, o campo fora da cavidade entre elas é nulo — em outras palavras, as linhas de campo ficam confinadas entre as placas e as contribuições se cancelam fora (para placas infinitas e cargas de mesma magnitude/opostas esta é a situação de equilíbrio). - Formalmente, em cada região externa (
e ) o potencial satisfaz . Impondo que o potencial seja finito (e que longe da placa não haja variação por simetria infinita) e igual ao valor da superfície na fronteira com o condutor, a solução constante é a única física e compatível com as condições: para fica e para fica . O campo correspondente fora é
- Observação física alternativa (checagem): aplicando a lei de Gauss para um retângulo prismático entre as placas obtém-se campo uniforme entre placas e nulo fora, o que é congruente com a solução obtida pela Laplace+condições de contorno.
Passo 7
Resumo final e comentários práticos (como usar na prova).
- Procedimento padrão para placas paralelas infinitas: reconheça simetria (redução a 1D), escreva
, integre duas vezes, aplique condições de contorno para achar constantes, e calcule . Sempre verifique direções com o sinal do gradiente. - Dica: quando pedirem potencial e campo, pensar em peça única: primeiro solução para
, depois obter . Se souber também carga superficial, pode checar com Gauss: (entre placas portanto ).
Resposta
Para
:
e
Para
:
e
Para
:
e