Ache o Potencial e o Campo Elétrico em todo o espaço, usando a equação de Laplace, para um capacitor de placas paralelas com extensões infinitas. A distancia entre as placas é \mathrm{x}_{1}. A placa esquerda está aterrada e a placa direita porta um potencial V.

Passo 1

O enunciado pede explicitamente duas coisas: achar o potencial elétrico e o campo elétrico em todo o espaço para um capacitor de placas paralelas infinitas. As informações dadas são:
  • A distância entre as placas é \mathrm{x}_{1}.
  • A placa esquerda está aterrada (potencial igual a zero).
  • A placa direita está ao potencial V.
  • As placas têm extensão infinita nas direções paralelas às superfícies (ou seja, são infinitas nos eixos transversais).
    O objetivo é fornecer expressões do potencial \,V(\mathbf{r})\, e do campo elétrico \,\mathbf{E}(\mathbf{r}) em todas as regiões do espaço (à esquerda da placa esquerda, entre as placas e à direita da placa direita).

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e interpretar as simetrias (informal e importante antes de resolver).
  • Coloco o eixo x perpendicular às placas, com a placa esquerda em x=0 e a placa direita em x=\mathrm{x}_{1}.
  • Por causa da extensão infinita das placas nas direções paralelas (direções y e z), nenhuma grandeza irá variar com y ou z. Assim, o potencial depende apenas de x: V=V(x).
  • Como o problema pede o uso da equação de Laplace e temos simetria unidimensional, a equação reduz-se a uma equação diferencial ordinária em x. Não estou resolvendo ainda, apenas organizando o que foi dado e o que foi fixado na modelagem.

Passo 3

Escrever a equação de Laplace no domínio relevante (entre as placas) e simplificá-la com a simetria.
  • A equação de Laplace no vácuo é \nabla^{2}V=0.
  • Com V=V(x) (dependência apenas de x), temos
\nabla^{2}V = \frac{d^{2}V}{dx^{2}} = 0.
Isto é uma equação diferencial ordinária simples de segunda ordem. Vou resolver essa ODE agora.

Passo 4

Resolver a ODE \dfrac{d^{2}V}{dx^{2}}=0 entre as placas e aplicar as condições de contorno.
  • Integrando uma vez:
\frac{dV}{dx} = A,
onde A é constante de integração (tem interpretação física relacionada ao campo).
  • Integrando novamente:
V(x) = A x + B,
onde B é outra constante de integração.
  • Agora aplico as condições de contorno que o enunciado deu (peguei esses valores do enunciado): V(0)=0 (placa esquerda aterrada) e V(\mathrm{x}_{1})=V (placa direita ao potencial V).
  • Impondo V(0)=0 na expressão:
V(0)=A\cdot 0 + B = 0 \quad\Rightarrow\quad B=0.
  • Impondo V(\mathrm{x}_{1})=V:
V(\mathrm{x}_{1}) = A\,\mathrm{x}_{1} + 0 = V \quad\Rightarrow\quad A = \frac{V}{\mathrm{x}_{1}}.
  • Portanto, para a região entre as placas ( 0\le x\le \mathrm{x}_{1}) o potencial é
V(x) = \frac{V}{\mathrm{x}_{1}}\,x.

Passo 5

Calcular o campo elétrico entre as placas a partir do potencial e explicar o sinal/direção.
  • A relação fundamental entre campo elétrico e potencial é \mathbf{E} = -\nabla V.
  • Como V=V(x) apenas,
E_x(x) = -\frac{dV}{dx}.
  • Derivando a expressão encontrada:
\frac{dV}{dx} = \frac{V}{\mathrm{x}_{1}},
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\mathbf{E}(x) = -\frac{V}{\mathrm{x}_{1}}\,\hat{\mathbf{x}} \qquad\text{para }0<x<\mathrm{x}_{1}.
  • Interpretação do sinal: se V>0 a placa direita está a potencial maior que a esquerda, então o campo aponta do potencial mais alto para o mais baixo, isto é, direção negativa de x (da direita para a esquerda), consistente com o sinal negativo acima. O módulo do campo é constante e igual a \dfrac{V}{\mathrm{x}_{1}}.

Passo 6

Determinar o potencial e o campo fora das placas (regiões x<0 e x>\mathrm{x}_{1}) e justificar por que são constantes/zero.
  • As superfícies condutoras (as placas) mantêm seus potenciais fixos: na própria placa esquerda o potencial é 0 e na placa direita é V. Fora da região entre placas, devido à simetria de placas infinitas e ao fato de que as superfícies são condutoras, o campo fora da cavidade entre elas é nulo — em outras palavras, as linhas de campo ficam confinadas entre as placas e as contribuições se cancelam fora (para placas infinitas e cargas de mesma magnitude/opostas esta é a situação de equilíbrio).
  • Formalmente, em cada região externa ( x<0 e x>\mathrm{x}_{1}) o potencial satisfaz \dfrac{d^{2}V}{dx^{2}}=0. Impondo que o potencial seja finito (e que longe da placa não haja variação por simetria infinita) e igual ao valor da superfície na fronteira com o condutor, a solução constante é a única física e compatível com as condições: para x<0 fica V(x)=0 e para x>\mathrm{x}_{1} fica V(x)=V. O campo correspondente fora é
\mathbf{E}(x)=\mathbf{0}\qquad\text{para }x<0\text{ e para }x>\mathrm{x}_{1}.
  • Observação física alternativa (checagem): aplicando a lei de Gauss para um retângulo prismático entre as placas obtém-se campo uniforme entre placas e nulo fora, o que é congruente com a solução obtida pela Laplace+condições de contorno.

Passo 7

Resumo final e comentários práticos (como usar na prova).
  • Procedimento padrão para placas paralelas infinitas: reconheça simetria (redução a 1D), escreva \dfrac{d^{2}V}{dx^{2}}=0, integre duas vezes, aplique condições de contorno para achar constantes, e calcule \mathbf{E}=-\nabla V. Sempre verifique direções com o sinal do gradiente.
  • Dica: quando pedirem potencial e campo, pensar em peça única: primeiro solução para V(x), depois obter \mathbf{E}(x). Se souber também carga superficial, pode checar com Gauss: \sigma=\varepsilon_{0}E (entre placas E=\dfrac{V}{\mathrm{x}_{1}} portanto \sigma=\varepsilon_{0}\dfrac{V}{\mathrm{x}_{1}}).

Resposta

Para x<0: V(x)=0 e \mathbf{E}(x)=\mathbf{0}.
Para 0\le x\le \mathrm{x}_{1}: V(x)=\dfrac{V}{\mathrm{x}_{1}}\,x e \mathbf{E}(x)=-\dfrac{V}{\mathrm{x}_{1}}\,\hat{\mathbf{x}}.
Para x>\mathrm{x}_{1}: V(x)=V e \mathbf{E}(x)=\mathbf{0}.

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