Ache a EDO y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0 que possui as seguites soluções: {1, \exp (-3 x)}.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
Dá a equação desconhecida y'' + a y' + b y = 0, em que a e b são constantes que precisamos determinar.
Diz que as duas soluções (funções solução independentes) da EDO são 1 e \exp(-3x).
Pede: encontrar a equação (isto é, determinar a e b) de modo que essas duas funções sejam soluções.
Passo 2
Ideia básica (explicação didática do método que vou usar).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, é muito comum testar soluções da forma y=e^{r x}. Isso funciona porque derivadas de uma exponencial ficam proporcionais à própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em r.
Se substituirmos y=e^{r x} em y'' + a y' + b y = 0, obtemos a equação característica
r^{2} + a r + b = 0.
Essa é uma equação quadrática cuja(s) raiz(es) r correspondem aos expoentes das soluções exponenciais e^{r x}.
Observação sobre a solução constante 1: a função 1 é a exponencial com expoente zero, pois 1=e^{0\cdot x}. Logo, a presença de 1 entre as soluções indica que r=0 é uma raiz da equação característica.
Passo 3
Identificar as raízes da equação característica a partir das soluções dadas.
A solução 1 corresponde a r=0.
A solução \exp(-3x) corresponde a r=-3.
Assim, as duas raízes da equação característica são r=0 e r=-3. A equação característica com essas raízes é o polinômio cujo fatoramento é
r(r+3)=0.
Desenvolvendo, obtemos
r^{2}+3r+0=0.
Comparando com a forma r^{2}+a r + b =0, deduzimos que
a=3,\qquad b=0.
Passo 4
Comentário sobre independência linear (por que duas soluções distintas bastam).
Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é combinação linear de duas soluções linearmente independentes.
Verificação rápida de independência: o Wronskiano de y_{1}=1 e y_{2}=e^{-3x} é