Ache a EDO y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0 que possui as seguites soluções:
{1, \exp (-3 x)}.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dá a equação desconhecida y'' + a y' + b y = 0, em que a e b são constantes que precisamos determinar.
  • Diz que as duas soluções (funções solução independentes) da EDO são 1 e \exp(-3x).
  • Pede: encontrar a equação (isto é, determinar a e b) de modo que essas duas funções sejam soluções.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática do método que vou usar).
  • Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, é muito comum testar soluções da forma y=e^{r x}. Isso funciona porque derivadas de uma exponencial ficam proporcionais à própria exponencial, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em r.
  • Se substituirmos y=e^{r x} em y'' + a y' + b y = 0, obtemos a equação característica
r^{2} + a r + b = 0.
Essa é uma equação quadrática cuja(s) raiz(es) r correspondem aos expoentes das soluções exponenciais e^{r x}.
  • Observação sobre a solução constante 1: a função 1 é a exponencial com expoente zero, pois 1=e^{0\cdot x}. Logo, a presença de 1 entre as soluções indica que r=0 é uma raiz da equação característica.

Passo 3

Identificar as raízes da equação característica a partir das soluções dadas.
  • A solução 1 corresponde a r=0.
  • A solução \exp(-3x) corresponde a r=-3.
  • Assim, as duas raízes da equação característica são r=0 e r=-3. A equação característica com essas raízes é o polinômio cujo fatoramento é
r(r+3)=0.
  • Desenvolvendo, obtemos
r^{2}+3r+0=0.
Comparando com a forma r^{2}+a r + b =0, deduzimos que
a=3,\qquad b=0.

Passo 4

Comentário sobre independência linear (por que duas soluções distintas bastam).
  • Para uma EDO linear homogênea de segunda ordem, a solução geral é combinação linear de duas soluções linearmente independentes.
  • Verificação rápida de independência: o Wronskiano de y_{1}=1 e y_{2}=e^{-3x} é
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} 1 & e^{-3x}\\[4pt] 0 & -3e^{-3x} \end{vmatrix} =-3e^{-3x}.
Como -3e^{-3x}\neq 0 para todo x, as funções são linearmente independentes, portanto formam uma base de soluções da EDO de segunda ordem.]

Passo 5

Verificação direta (substituir e mostrar que ficam nulas).
  • Para y=1: y'=0 e y''=0. Calculando y''+3y'+0\cdot y obtemos 0+3\cdot0+0=0.
  • Para y=e^{-3x}: y'=-3e^{-3x} e y''=9e^{-3x}. Calculando y''+3y'+0\cdot y obtemos
9e^{-3x}+3(-3e^{-3x})=9e^{-3x}-9e^{-3x}=0.
Ambas satisfazem a mesma equação com a=3 e b=0, então a EDO procurada é encontrada corretamente.

Resposta

y''+3y'=0

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